Σの計算の問題の解法

Σの計算問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{(2k+1)(k+1)\}$

解き方

Σの性質と公式を使って計算します。

解説

問題の前に、まずΣの記号の意味から確認しましょう。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k$
これはまず「Σ」という記号が「和を計算しますよ」という記号ですね。
そしてどんな和かというとΣの対象とする関数が「 $a_k$ 」になっています。
$\{a_k\}$ という数列、つまり $a_1,a_2,a_3,...$ に対しての和ですという事を表しています。
この数列に対して、Σの下の $k=1$ が $a_k$ の $k$ が $k=1$ から始めますよという事を表しています。
さらにΣの上の $n$ が $k=n$ までの和を取りますという事を表しています。
だから、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+...+a_n$
という計算をするわけです。

例えば $\displaystyle a_k=2k+1,\sum_{k=5}^{10} a_k$ だったらどうなるでしょう？
$a_1=3,a_2=5,...$ という数列の $k=5$ から $k=10$ までの和ですね？
つまり $\displaystyle \sum_{k=5}^{10} a_k=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}$ を計算します。

さてΣは和をとる記号ですが、いくつかとても便利な性質を持っています。
(A) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k+b_k=\sum_{k=1}^{n} a_k+\sum_{k=1}^{n} b_k$
中身のkの式をばらすことができます。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+k=\sum_{k=1}^{n} k^2+\sum_{k=1}^{n} k$
という変形ができます。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2+k=(1^2+1)+(2^2+2)+...+(n^2+n)$
ですから和をとる順序を変えれば
$\displaystyle =(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)=\sum_{k=1}^{n} k^2+\sum_{k=1}^{n} k$
となるからです。

(b) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c\cdot a_k=c\sum_{k=1}^{n} a_k$
定数は外に出すことができます。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k^2=2\sum_{k=1}^{n} k^2$
という変形ができます。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2k^2=2\cdot 1^2+2\cdot 2^2+...+2\cdot n^2)$
ですから共通因数をくくれば
$\displaystyle =2(1^2+2^2+...+n^2)=2\sum_{k=1}^{n} k^2$
となるからです。

これらの性質を使うとどんなn次式も定数と $k^n$ の和で表すことができますね。

そしてΣの公式を使います。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1(=1+1+...+1)=n$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(=1+2+3+...+n)=\frac{1}{2}n(n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2(=1^2+2^2+3^2+...+n^2)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3(=1^3+2^3+3^3+...+n^3)=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}(=1+r+r^2+...+r^{n-1})=\frac{r^n-1}{r-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$

どんなn次式も定数と $k^n$ の和で表すことができましたので、これらの公式を使うと3次式までの和が計算できます。

では問題を解いてみましょう。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)$
公式を使っていきます。
まずΣの性質を使ってばらします。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)=2\sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1$
公式を当てはめて置換します。
$\displaystyle =2\frac{1}{2}n(n+1)+n$
$\displaystyle =n(n+1)+n=n^2+n+n=n^2+2n$
答えです。

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{(2k+1)(k+1)\}$
公式を使っていきます。
まずΣの中の式を整理（展開）しましょう。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{(2k+1)(k+1)\}=\sum_{k=1}^{n} (2k^2+3k+1)$
あとは(1)と同じです。
Σの性質を使ってばらします。
$\displaystyle =2\sum_{k=1}^{n} k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$
公式を当てはめて置換します。
$\displaystyle =2\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+3\frac{1}{2}n(n+1)+n$
$\displaystyle =\frac{1}{6}(4n^3+6n^2+2n)+\frac{1}{2}(3n^2+3n)+n$
$\displaystyle =\frac{1}{6}(4n^3+6n^2+2n+9n^2+9n+6n)$
$\displaystyle =\frac{1}{6}(4n^3+15n^2+17n)$
答えです。

n=1,2あたりの計算しやすい値を代入して確認しておけると安心です。
n=1のとき和はa_1なので6ですが、求めた式に代入すると $\displaystyle \frac{1}{6}(4+15+17)=6$ で合いました。
n=2のとき和はa_1+1_2で6+15=21ですが、求めた式に代入すると $\displaystyle \frac{1}{6}(32+60+34)=21$ で合いました。

応用問題

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

解き方

基本的には基本問題と同じです。
ただ、和の公式に合うよう調整が必要です。

解説

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$
さて、何が違うか？
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1)$
ではなく
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$
です。
nがn-1になりました。
公式はnまでの和ですが、問題はn-1までの和です。
公式にn-1を代入して使えばいいんですね。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)=2\sum_{k=1}^{n-1} k+\sum_{k=1}^{n-1} 1$
$\displaystyle =2\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1)+(n-1)$
$\displaystyle =n(n-1)+(n-1)=n^2-n+n-1=n^2-1$
答えです。

なお、基本問題の(1)で求めたnまでの和から、末項の2n+1を引いても求めることができますね。
$\displaystyle n^2+2n-(2n+1)=n^2-1$
この発想も大切ですよ。

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$
これもなんだか少しずつずれています。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$
なら良いのですが。

ずれてしまっているのは、「nがn-1に変わった点」と「 $2^{k-1}$ が $2^k$ に変わった点」です。

「nがn-1に変わった点」は先程の(1)と同様、n-1を代入して使います。

「 $2^{k-1}$ が $2^k$ に変わった点」は計算する式を変形しましょう。
$\displaystyle 2^k=2 \cdot 2^{k-1}$
という変形です。

では求めていきます。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k=\sum_{k=1}^{n-1} 2\cdot 2^{k-1}$
$\displaystyle =2\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$
$\displaystyle =2\frac{2^{n-1}-1}{2-1}$
$\displaystyle =2\cdot 2^{n-1}-2$
$\displaystyle =2^n-2$