部分分数分解を利用する数列の解法

部分分数分解を利用する数列の問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の数列の和を求めなさい
$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4},\frac{1}{4\cdot 7},\frac{1}{7\cdot 10},...,\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

解き方

分数の分母が積で表されている場合、部分分数分解を利用すると解きやすくなる問題があります。
このタイプの数列の問題は部分分数分解を利用する問題として有名です。

解説

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4},\frac{1}{4\cdot 7},\frac{1}{7\cdot 10},...,\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$
一般項を親切に載せてくれていますので利用しましょう。

経験が無いと中々手が進みにくい問題です。
$\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$
の和を公式に当てはめて計算する術が無いからです。

分母が積の形ということで部分分数分解ができそうです。
分解すると和が計算できるかもしれないですね。

$\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{a}{3n-2}+\frac{b}{3n+1}$
に部分分数分解ができたとします。
$a,b$ を求めましょう。

また通分します。
$\displaystyle \frac{a}{3n-2}+\frac{b}{3n+1}=\frac{a(3n+1)+b(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}$
$\displaystyle =\frac{3an+a+3bn-2b}{(3n-2)(3n+1)}$
$\displaystyle =\frac{(3a+3b)n+a-2b}{(3n-2)(3n+1)}$

元々分子は1でしたので。
$\displaystyle (3a+3b)n+a-2b=1$
恒等式の性質で
$\displaystyle 3a+3b=0$
$\displaystyle a-2b=1$
という $a,b$ の連立方程式が得られます。
これを解いて $\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}$ です。

という事で、与えられた数列の一般項は、
$\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}$
と部分分数分解することができます。

この状態ではどのような和になっているのかやはりわかりません。
これを用いて数列の和を書いてみましょう。
$\displaystyle \left(\frac{1}{3(3\cdot 1-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 1+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(3\cdot 2-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 2+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(3\cdot 3-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 3+1)}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)$
$\displaystyle \left(\frac{1}{3(3-2)}-\frac{1}{3(3+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(6-2)}-\frac{1}{3(6+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(9-2)}-\frac{1}{3(9+1)}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)$
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{21}\right)+\left(\frac{1}{21}-\frac{1}{30}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)$
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{30}+...+\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}$
$\displaystyle \frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\right)+\left(-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}\right)+\left(-\frac{1}{30}+...+\frac{1}{3(3n-2)}\right)-\frac{1}{3(3n+1)}$
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3(3n+1)}$
$\displaystyle \frac{3n+1-1}{3(3n+1)}$
$\displaystyle \frac{n}{3n+1}$
が答えです。