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部分分数分解を利用する数列の問題の解法

部分分数分解を利用する数列の問題です。

基本問題

次の数列の和を求めなさい
\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4},\frac{1}{4\cdot 7},\frac{1}{7\cdot 10},...,\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}

解き方

分数の分母が積で表されている場合、部分分数分解を利用すると解きやすくなる問題があります。
このタイプの数列の問題は部分分数分解を利用する問題として有名です。

解説

\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4},\frac{1}{4\cdot 7},\frac{1}{7\cdot 10},...,\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}
一般項を親切に載せてくれていますので利用しましょう。

経験が無いと中々手が進みにくい問題です。
\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}
の和を公式に当てはめて計算する術が無いからです。

分母が積の形ということで部分分数分解ができそうです。
分解すると和が計算できるかもしれないですね。

\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{a}{3n-2}+\frac{b}{3n+1}
に部分分数分解ができたとします。
a,bを求めましょう。

また通分します。
\displaystyle \frac{a}{3n-2}+\frac{b}{3n+1}=\frac{a(3n+1)+b(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}
\displaystyle =\frac{3an+a+3bn-2b}{(3n-2)(3n+1)}
\displaystyle =\frac{(3a+3b)n+a-2b}{(3n-2)(3n+1)}

元々分子は1でしたので。
\displaystyle (3a+3b)n+a-2b=1
恒等式の性質で
\displaystyle 3a+3b=0
\displaystyle a-2b=1
というa,bの連立方程式が得られます。
これを解いて\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3}です。

という事で、与えられた数列の一般項は、
\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}
と部分分数分解することができます。

この状態ではどのような和になっているのかやはりわかりません。
これを用いて数列の和を書いてみましょう。
\displaystyle \left(\frac{1}{3(3\cdot 1-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 1+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(3\cdot 2-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 2+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(3\cdot 3-2)}-\frac{1}{3(3\cdot 3+1)}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)
\displaystyle \left(\frac{1}{3(3-2)}-\frac{1}{3(3+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(6-2)}-\frac{1}{3(6+1)}\right)+\left(\frac{1}{3(9-2)}-\frac{1}{3(9+1)}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)
\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{21}\right)+\left(\frac{1}{21}-\frac{1}{30}\right)+...+\left(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}\right)
\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{30}+...+\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)}
\displaystyle \frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\right)+\left(-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}\right)+\left(-\frac{1}{30}+...+\frac{1}{3(3n-2)}\right)-\frac{1}{3(3n+1)}
\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3(3n+1)}
\displaystyle \frac{3n+1-1}{3(3n+1)}
\displaystyle \frac{n}{3n+1}
が答えです。

終わりに

部分分数分解の方法さえわかればどんどん消えていく爽快感を味わえます。
数列はこの手の「知っていれば得点しやすい」が「知らないと得点しにくい」問題が多いです。
演習問題を早いうちから繰り返し解いて、色々なパターンに慣れておきましょう。

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