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等比数列の問題の解法

等比数列の一般項を求める問題や、その和を求める問題です。

等比数列の和の指数部分には気をつけましょう。

基本問題

(1)公比が3で初項が-5の等比数列の一般項と初項から第5項までの和を求めよ
(2)第2項が3、第5項が-24の等比数列の一般項と初項から第5項までの和を求めよ

解き方

初項と公比がわかれば等比数列の一般項がわかります。
一般項がわかれば初項から第n項までの和を求める事ができます。

解説

(1)公比が3で初項が-5の等比数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ
一般項を即答しましょう。
a_n=-5\cdot 3^{n-1}
ですね。

初項から第5項までの和S_5も公式で求めます。
\displaystyle S_5=-5\frac{(1-3^5)}{1-3}
\displaystyle S_5=-5\frac{(1-243)}{-2}
\displaystyle S_5=-5 \times 121
\displaystyle S_5=-605

(2)第2項が3、第5項が-24の等比数列の一般項と初項から第5項までの和を求めよ
まずは一般項を求めましょう。

第2項が3、第5項が-24という事で、3回の公比を掛けて-8倍されていますね。
したがって公比rr^3=-8r=-2です。
第2項が3なので、初項は公比で1回分割って\displaystyle -\frac{3}{2}です。
\displaystyle a_n=-\frac{3}{2}(-2)^{n-1}
(\displaystyle a_n=3\cdot(-2)^{n-2})
が一般項になります。

一般項はa_n=ar^{n-1}という形をしていました。
これに第2項と第5項の情報を代入します。
a_2=ar=3
a_5=ar^4=-24
a,rの連立方程式を解くという考えで同じ計算をすることでも求める事ができます。

次に和ですが一般項さえ求める事ができれば後は同じですね。
初項から第5項までの和S_5も公式で求めます。
\displaystyle S_5=-\frac{3}{2}\frac{(1-(-2)^5)}{1-(-2)}
\displaystyle S_5=-\frac{1}{2}(1-(-32))
\displaystyle S_5=-\frac{1}{2}\cdot 33
\displaystyle S_5=-\frac{33}{2}

ちなみにこの手の問題は公比が\pmという可能性があります。
明らかに-ならばよいのですが、+になった場合は-の場合もありうるという点に気を付けてください。

終わりに

和の公式は指数の部分で間違える可能性があるので、忘れたときのために求める方法も覚えておけると良いですね。

補足メモ

応用問題に良さそうな問題を考え中です。
等差数列と等比数列の組み合わせは別途作ろうと思っているのですが。

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