等差数列と等比数列の積の解法

等差数列と等比数列の積で表される数列の和を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の数列の第n項までの和を求めなさい。
$2\cdot 2,4\cdot 4,6\cdot 8,8\cdot 16,...$

解き方

まずは数列の一般項を求めましょう。
等比数列はその公比を掛けると項が1つずれます。
項を1つずらして計算する方法で計算が簡単になる場合があります。
これを利用します。

解説

$2\cdot 2,4\cdot 4,6\cdot 8,8\cdot 16,...$
まず一般項を求めましょう。
親切に積で表してくれています。
左側： $2,4,6,8,...$
2ずつ増えています。
$2n$ で表される等差数列ですね。
右側： $2,4,8,16,...$
2倍2倍で変化しています。
$22^{n-1}$ で表される等差数列ですね。
従って一般項は $(2n)\cdot \left(2\cdot 2^{n-1}\right)=4n2^{n-1}$ ですね。

次に第n項までの和 $S_n$ です。
$S_n=4\cdot 1 \cdot 1+4 \cdot 2\cdot 2^1+4 \cdot 3\cdot 2^2+...+4(n-1)2^{n-2}+4n2^{n-1}$
これは等比数列部分の公比2を掛けて、各項を1つずらした値を使いましょう。
$S_n=4\cdot 1 \cdot 2^0+4 \cdot 2\cdot 2^1+4 \cdot 3\cdot 2^2+...+4(n-1)2^{n-2}+4n2^{n-1}$
$2S_n=4\cdot 1 \cdot 2^1+4 \cdot 2\cdot 2^2+4 \cdot 3\cdot 2^3+...+4(n-1)2^{n-1}+4n2^n$
そして、元の式から公比を掛けた数を引きます。
このとき $2^m$ が同じ部分同士を引き算していきます。

左辺は $S_n-2S_n=-S_n$ ですね。
$S_n$ の1項目にあたる $4\cdot 1 \cdot 2^0$ は引く相手がいません。
$S_n$ の2項目にあたる $4 \cdot 2\cdot 2^1$ は $2S_n$ の1項目にあたる $4\cdot 1 \cdot 2^1$ を引きます。
$4 \cdot 2\cdot 2^1-4\cdot 1 \cdot 2^1=4\cdot (2-1)\cdot 2^1=4\cdot 2^1$
$S_n$ の3項目にあたる $4 \cdot 3\cdot 2^2$ は $2S_n$ の2項目にあたる $4\cdot 2 \cdot 2^2$ を引きます。
$4 \cdot 3\cdot 2^1-4\cdot 2 \cdot 2^1=4\cdot (3-2)\cdot 2^2=4\cdot 2^2$
$S_n$ のn-1項目にあたる $4(n-1)2^{n-2}$ は $2S_n$ のn-2項目にあたる $4(n-2)2^{n-2}$ を引きます。
$4 \cdot (n-1)\cdot 2^{n-2}-4\cdot (n-2) \cdot 2^{n-2}=4\cdot ((n-1)-(n-2))\cdot 2^{n-2}=4\cdot 2^{n-2}$
$S_n$ のn項目にあたる $4n2^{n-1}$ は $2S_n$ のn-1項目にあたる $4(n-1)2^{n-1}$ を引きます。
$4 n2^{n-1}-4\cdot (n-1) \cdot 2^{n-1}=4\cdot (n-(n-1))\cdot 2^{n-1}=4\cdot 2^{n-1}$
$2S_n$ のn項目にあたる $4n2^n$ は引かれる相手がいません。

つまり $-S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+(4\cdot 2^1+4\cdot 2^2+...+4\cdot 2^{n-2}+4\cdot 2^{n-1})-(4n2^n)$ です。
$4\cdot 2^1+4\cdot 2^2+...+4\cdot 2^{n-2}+4\cdot 2^{n-1}$ は項数がn-1個で、初項が8、公比2の等比数列の和になっていますね。
$\displaystyle -S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+8\frac{2^{n-1}-1}{2-1}-(4n2^n)$
となります。
きれいに計算が進んで気持ちいいですね。

後はこれを少しきれいにしましょう。
$\displaystyle -S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+8\frac{2^{n-1}-1}{2-1}-(4n2^n)$
$\displaystyle S_n=-4-8(2^{n-1}-1)+4n2^n$
$\displaystyle S_n=-4-8\cdot 2^{n-1}+8+4n2^n$
$\displaystyle S_n=4-4\cdot 2^n+4n2^n$
$\displaystyle S_n=4+4(n-1)2^n$
$\displaystyle S_n=4+(n-1)2^{n+2}$
答えです。