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等差数列と等比数列の積の問題の解法

等差数列と等比数列の積で表される数列の和を求める問題です。

基本問題

次の数列の第n項までの和を求めなさい。
2\cdot 2,4\cdot 4,6\cdot 8,8\cdot 16,...

解き方

まずは数列の一般項を求めましょう。
等比数列はその公比を掛けると項が1つずれます。
項を1つずらして計算する方法で計算が簡単になる場合があります。
これを利用します。

解説

2\cdot 2,4\cdot 4,6\cdot 8,8\cdot 16,...
まず一般項を求めましょう。
親切に積で表してくれています。
左側:2,4,6,8,...
2ずつ増えています。
2nで表される等差数列ですね。
右側:2,4,8,16,...
2倍2倍で変化しています。
22^{n-1}で表される等差数列ですね。
従って一般項は(2n)\cdot \left(2\cdot 2^{n-1}\right)=4n2^{n-1}ですね。

次に第n項までの和S_nです。
S_n=4\cdot 1 \cdot 1+4 \cdot 2\cdot 2^1+4 \cdot 3\cdot 2^2+...+4(n-1)2^{n-2}+4n2^{n-1}
これは等比数列部分の公比2を掛けて、各項を1つずらした値を使いましょう。
S_n=4\cdot 1 \cdot 2^0+4 \cdot 2\cdot 2^1+4 \cdot 3\cdot 2^2+...+4(n-1)2^{n-2}+4n2^{n-1}
2S_n=4\cdot 1 \cdot 2^1+4 \cdot 2\cdot 2^2+4 \cdot 3\cdot 2^3+...+4(n-1)2^{n-1}+4n2^n
そして、元の式から公比を掛けた数を引きます。
このとき2^mが同じ部分同士を引き算していきます。

左辺はS_n-2S_n=-S_nですね。
S_nの1項目にあたる4\cdot 1 \cdot 2^0は引く相手がいません。
S_nの2項目にあたる4 \cdot 2\cdot 2^12S_nの1項目にあたる4\cdot 1 \cdot 2^1を引きます。
4 \cdot 2\cdot 2^1-4\cdot 1 \cdot 2^1=4\cdot (2-1)\cdot 2^1=4\cdot 2^1
S_nの3項目にあたる4 \cdot 3\cdot 2^22S_nの2項目にあたる4\cdot 2 \cdot 2^2を引きます。
4 \cdot 3\cdot 2^1-4\cdot 2 \cdot 2^1=4\cdot (3-2)\cdot 2^2=4\cdot 2^2
S_nのn-1項目にあたる4(n-1)2^{n-2}2S_nのn-2項目にあたる4(n-2)2^{n-2}を引きます。
4 \cdot (n-1)\cdot 2^{n-2}-4\cdot (n-2) \cdot 2^{n-2}=4\cdot ((n-1)-(n-2))\cdot 2^{n-2}=4\cdot 2^{n-2}
S_nのn項目にあたる4n2^{n-1}2S_nのn-1項目にあたる4(n-1)2^{n-1}を引きます。
4 n2^{n-1}-4\cdot (n-1) \cdot 2^{n-1}=4\cdot (n-(n-1))\cdot 2^{n-1}=4\cdot 2^{n-1}
2S_nのn項目にあたる4n2^nは引かれる相手がいません。

つまり-S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+(4\cdot 2^1+4\cdot 2^2+...+4\cdot 2^{n-2}+4\cdot 2^{n-1})-(4n2^n)です。
4\cdot 2^1+4\cdot 2^2+...+4\cdot 2^{n-2}+4\cdot 2^{n-1}は項数がn-1個で、初項が8、公比2の等比数列の和になっていますね。
\displaystyle -S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+8\frac{2^{n-1}-1}{2-1}-(4n2^n)
となります。
きれいに計算が進んで気持ちいいですね

後はこれを少しきれいにしましょう。
\displaystyle -S_n=4(\cdot 1 \cdot 2^0)+8\frac{2^{n-1}-1}{2-1}-(4n2^n)
\displaystyle S_n=-4-8(2^{n-1}-1)+4n2^n
\displaystyle S_n=-4-8\cdot 2^{n-1}+8+4n2^n
\displaystyle S_n=4-4\cdot 2^n+4n2^n
\displaystyle S_n=4+4(n-1)2^n
\displaystyle S_n=4+(n-1)2^{n+2}
答えです。

終わりに

等比数列が含まれている場合は有効です。
応用して使えると気持ちいいですね。
知っていれば得点しやすいですが、知らないと得点しにくい問題だと思います。

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