階差数列を利用して求める一般項や、その和を求める問題です。
基本問題
(1)の数列の一般項を求めなさい
(2)の数列の一般項を求めなさい
解き方
数列が等差でもなく、等比でもなく、ぱっと見て良くわからない数列のとき、階差を取りましょう。
数列は階差数列を使っての一般項をと表せます。
解説
(1)の数列の一般項を求めなさい
階差を見てみます。
元の数列の階差数列がで一般項のになっています。
数列がで一般項のになっています。
数列の一般項は、のときでしたので、
これはのときも成り立つので、すべてのnで一般項は
(2)の数列の一般項を求めなさい
階差を見てみます。
元の数列の階差数列がです。
一般項は初項が3、公比が3の等比数列になっています。
数列の一般項は、のときでしたので、
これはのときも成り立つので、すべてのnで一般項は
応用問題
(1)の数列の一般項を求めなさい
(2)の数列の一般項を求めなさい
解き方
(1)は階差数列が少し複雑な時です。
基本問題の積み重ねになります。
(2)は階差がだめなら階差の階差です。
階差数列を階差数列の階差数列で求めます。
解説
(1)の数列の一般項を求めなさい
ちょっと気持ち悪い感じがしますが、階差を見てみます。
元の数列の階差数列がです。
一般項は初項が3、公比が3の等比数列の和の形になっています。
数列の一般項は、のときでしたので、
ここからの計算でポイントがあります。
は、
として指数をの形に変形して計算すると間違いが減ります!
等比数列の和の公式はの形での和の公式だからです。
これはのときも成り立つので、すべてのnで一般項は
(2)の数列の一般項を求めなさい
階差を見てみます。
まだよくわからない、という事で階差数列の階差数列を見てみましょう。
という事で、の数列で表せそうです。
元の数列の階差数列をとします。
の階差数列をとします。
数列の一般項は、のときになります。
これはのときも成り立つので、すべてのnで一般項は
数列の一般項は、のときになります。
これはのときも成り立つので、すべてのnで一般項は
終わりに
階差数列を利用して数列を求めるときはに気を付けてください。
階差数列を利用した問題は、次の力が試されます。
- 階差数列の一般項を求めるという数列の一般項を求める力
- 階差数列から元の数列を計算するという階差数列の性質を利用する力
- 階差数列の和を計算するという和を求める力
今までの総復習ができるチャンスです!