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作図の問題の解法

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作図によって点を求めたり線を引いたりする問題です。

基本問題

(1)次の図で直線l上の点で点Pと最も距離の短い点Qを作図によって求めなさい。
垂線_1

(2)次の図で辺BC上の点で点A、点Bから等しい距離にある点を作図により求めなさい。
垂直二等分線2_1

解き方

最も距離が短い」という問題は垂直な線がポイントになります。
2点から等しい距離」という問題は垂直二等分線がポイントになります。
2線から等しい距離」という問題は角の二等分線がポイントになります。

解説

(1)次の図で直線l上の点で点Pと最も距離の短い点Qを作図によって求めなさい。
垂線_1

まず「距離の短い点」なので直線l上の点から垂直な線を引き、それが点Pを通れば、そのl上の点が求める点です。
闇雲に垂線を引くわけにもいきません。
点から線に垂線を作図」する方法がありますのでそれを使いましょう。

まず、垂線をおろしたい点Pから直線を通るように弧1をコンパスで作図します。
垂線_2

次に、直線と弧1の2つの交点から弧2と弧3の半径が等しくなるようコンパスで作図します。
垂線_3

最後に弧2と弧3が交わった点と点Pを結びます。
この線が点Pから直線lにおろした垂線になっています。
後は直線lとの交点をQとすれば良いですね。
垂線_4

ちなみに点Pから等しいl上の点A,Bを取り、A,Bの垂直二等分線を作図しています。
点Pから等しいl上の点A,Bの垂直二等分線は、点Pを通るのでこのような作図になっているわけですね。
なので垂線をおろす問題も、結局は垂直二等分線の作図の問題という事です。

(2)次の図で辺BC上の点で点A、点Bから等しい距離にある点Pを作図により求めなさい。
垂直二等分線2_1

2点から等しい距離の問題は垂直二等分線ですね。

点A、点Bの垂直二等分線を作図します。
A,Bから弧1,弧2を描きます。
垂直二等分線2_2

弧1と弧2の交点を結べば垂直二等分線ですね。
後は辺BCとの交点にPと書いて完成です。
垂直二等分線2_3

(3)次の図で辺ABと辺BCがくっつくように折り返した線を作図しなさい。
角の二等分線_1

線と線をくっつくけて折った図をイメージしましょう。

その時折り返した線上の点Pを使った角\angle{PBA},\angle{PBC}は同じ角になりますね?
つまり\angle{PBA}=\angle{PBC}となる点Pがわかれば良い分けです。
これは\angle{ABC}の角の二等分線になっています。
角の二等分線は2線から等しい距離にある点が作る直線ですが、もちろん言葉の意味通り角を二等分する性質も忘れないでください。

という事で角の二等分線を作図します。
Bから弧1を辺BC,BAにぶつかるよう描きます。
角の二等分線_2

弧1と辺BCの交点、弧1と辺BAの交点のそれぞれから弧2と弧3が同じ半径になるよう作図します。
角の二等分線_3

弧2と弧3の交点とBを結んだ線が\angle{ABC}の角の二等分線になっています。
角の二等分線_4

これが辺ABと辺BCがくっつくように折り返した線になります。

応用問題

(1)次の図で点Pの接線を作図しなさい。
垂線2_1

(2)次の図で点Cが点Pとくっつくように折り返したときにできる折り返しの線を作図しなさい。
垂直二等分線_1

(3)\triangle{ABC}の辺BA上に点Pを、辺BC上に点Qを、BP=BQとなるようにとる。
角の二等分線2_1

\triangle{ABC}内の点Rに対し、\triangle{PBR},\triangle{QBR}の面積が等しくなる点Rはどのような点になるか。
作図により求めなさい。
角の二等分線2_2

解き方

基本的には基本問題と同じです。
ただ(2)の様に表現が異なっていたりする場合があります。
どのような点になるのかを想像する力が試されるかもしれません。
その際は、「2点から等しい距離」なのか、「2線から等しい距離」なのかを考えると良いですね。

解説

(1)次の図で点Pの接線を作図しなさい。
垂線2_1

接線は中心から引いた直線と垂直な線ですね。
なので中心から引いた直線をまず描きます。
垂線2_2

点Pはこの直線上の点ですが、構わず垂線の作図の方法を使って垂線を引きます
まず、垂線をおろしたい点Pから直線を通るように弧1(円にしてしまいましたが)をコンパスで作図します。
垂線2_3

次に、直線と弧1の2つの交点から弧2と弧3の半径が等しくなるようコンパスで作図します。
垂線2_4

最後に弧2と弧3が交わった点と点Pを結びます。
この線が点Pから直線lにおろした垂線になっています。
後はこの線を延長すれば接線ですね。
垂線2_5

(2)次の図で点Cが点Pとくっつくように折り返したときにできる折り返しの線を作図しなさい。
垂直二等分線_1

「折り返した線の作図というものはこうやりますよ」とはあまり教わったりしないと思います。
折った線がどのような点になっているのか考えましょう。

まず点Cを点Pに折った時、中点Mが折り返しの線上に来ることがわかると思います。
この時点で、「垂直二等分線かな?」と想像ができると良いですね。

更に、点Cと点Pを結んだ線分が折ったときにどうなるのか考えてみます。
まず中点Mですが、直線で結んでいて点Cと点Pを重ねるわけですから、CMとMPは重なりますよね?
他の線分上の点Dも同様で、どのような点Dをとってきても、CD=PDです。

2点と等しい距離にある点による線が垂直二等分線でしたね。

という事で、垂直二等分線を作図します。
C,Pから弧1,弧2を描きます。
垂直二等分線_2

弧1と弧2の交点を結べば垂直二等分線ですね。
垂直二等分線_3

(3)\triangle{ABC}内の点Rに対し、\triangle{PBR},\triangle{QBR}の面積が等しくなる点Rはどのような点になるか。
角の二等分線2_2

三角形の面積は底辺×高さ÷2でした。
\triangle{PBR},\triangle{QBR}の底辺をそれぞれPB,QBと思えば、底辺の長さが同じという事です。
後は高さが同じであればいいですね。
高さはRからそれぞれの辺に下した垂線です。
垂線は距離になっていますね。
点Rの高さがそれぞれ等しいという事は、点Rがそれぞれの辺との距離が等しいという事です。

2線と等しい距離にある点による線が角の二等分線でした。
\angle{PBQ}の角の二等分線を作図します。

角の二等分線2_3

\angle{PBQ}の角の二等分線と辺ACの交点をDとすると、点Rは辺BD上の点になります。

終わりに

2点から等しい距離」、「2線から等しい距離」に着目しましょう。
作図の難易度が高めの問題を解けるかどうかは、このいずれかを読み解けるかどうかにかかっている事が多いからです。

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