階差数列から求める漸化式の問題の解法

$a_{n+1}=a_n+f(n)$ の形の漸化式の一般項を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+2n-1$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

第n+1項と第n項の差がnの式になっているような漸化式です。
このタイプの漸化式は階差数列がnの式になっているわけです。
nの式の和を使って求める事ができます。

解説

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+2n-1$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

$a_{n+1}-a_n=2n-1$ になります。
第n+1項と第n項の差の式が与えられていますので、階差数列 $\{b_n\}$ が $2n-1$ になっています。
数列 $\{a_n\}$ は階差数列 $\{b_n\}$ を使って $n\geq 2$ の一般項を $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ と表せました。
詳しくは階差数列の問題の解法をご確認ください。

よって $n\geq 2$ なるnに対して、
$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} 2k-1$
$\displaystyle a_n=1+2\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)$
$a_n=1+n^2-n-n+1$
$a_n=n^2-2n+2$

これはn=1のときも $a_1=1^2-2+2=1$ で成り立ちます。
全ての自然数nに対して $a_n=n^2-2n+2$ になります。

応用問題

$a_1=3,a_{n+1}=3a_n+2^n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

変形して $a_{n+1}=a_n+f(n)$ の形の漸化式にしましょう。
$a_{n+1},a_n$ の係数が等しくなるように変形したいですね。
$b_n$ をうまく使って $b_{n+1}=b_n+g(n)$ の形を作ります。
$b_n$ にはnの式が、 $b_{n+1}$ はn+1の式が掛けられるように変形します。

解説

$a_1=3,a_{n+1}=3a_n+2^n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方にもあるように、 $a_{n+1},a_n$ の係数が等しくなるように変形します。
3が邪魔ですね？
ただ3を掛けたり3で割ったりしても意味がありません。
n,n+1という要素を作ります。
既に3が掛けられているので3がn,n+1回掛けられているような式を作ります。
この発想です。

$3^n$ を掛けてみます。
$3^na_{n+1}=3^n\cdot 3a_n+3^n\cdot 2^n$
$3^na_{n+1}=3^{n+1}a_n+6^n$
これではn,n+1が逆転していますね。
次の手は、逆転させる、つまり割ればいい。

$3^n$ で割ります。
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{3a_n}{3^n}+\frac{2^n}{3^n}$
$\displaystyle 3\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=3\frac{a_n}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n$
3が1つ邪魔なのでもう一回3で割っておきましょう。
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^n$
後々階差数列を計算する事を踏まえて少し変形しておきます。
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$ と置きたくなりますね？
$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$ とすると、
$\displaystyle b_1=\frac{a_1}{3^1}=\frac{3}{3}=1,b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}$ になります。
$\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{2}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

$b_n$ は初項が1で階差数列が $\displaystyle \frac{2}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ の数列になっています。

よって $n\geq 2$ なるnに対して、
$\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}$
$\displaystyle b_n=1+\frac{2}{9}\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\left(\frac{2}{3}\right)}$
$\displaystyle b_n=1+\frac{2}{3}\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}{3-3\left(\frac{2}{3}\right)}$
$\displaystyle b_n=1+\frac{2}{3}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right)$
$\displaystyle b_n=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
$\displaystyle b_n=\frac{5}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^n$

n=1のとき $\displaystyle b_1=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=1$ なのですべてのnで $\displaystyle b_n=\frac{5}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^n$ が成り立ちます。

$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$ でしたので、 $\displaystyle a_n=3^nb_n$ になります。
$\displaystyle a_n=3^nb_n=3^n\left(\frac{5}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$
$\displaystyle a_n=5\cdot 3^{n-1}-2^n$
となります。