等差数列になる漸化式の問題の解法

$a_{n+1}=a_n+d$ の形の漸化式の一般項を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+5$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

第n+1項が第n項にある定数を足していくような漸化式です。
一定の値ずつ増えていくわけですから、このタイプの漸化式は等差数列になります。

解説

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+5$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

初項が1、公差が5の等差数列になりますね。
つまり $a_n=5(n-1)+1=5n-4$ になります。

応用問題

$\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+4}$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

「おいおい、前々形違うじゃないか？」
と思われるかもしれませんが、変形することで $a_{n+1}=a_n+d$ の形の漸化式になります。
これが漸化式の問題の難しくもあり、面白くもある要素です。

解説

$\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+4}$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

この式、分数になっているのが難しくしている要素です。

分数を消すために、両辺に $a_n+4$ を掛ける手があります。
しかし、 $a_{n+1}\cdot a_n$ という項が出てきます。
これはこれで解きにくい。

他に分数を消す方法が無いか？
よくよく見るとさらに難しくしているのは、分母が $a_n+4$ と和になっている点です。
分母の和を取り払うためには、逆数をとるという手法があります。
逆数をとる際に1点注意しなければならないのは、0で除算してはいけないという点です。
式を変形する際はこれだけは忘れないでくださいね。

$a_1>0$ ですが $a_n=0$ となるnがあると仮定します。
$\displaystyle a_{n}=\frac{4a_{n-1}}{a_{n-1}+4}$ ですから分子の $a_{n-1}$ も0となり、すべての $a_n$ が0となり矛盾します。
よって、全ての自然数nに対し $a_n\ne 0$ になります。

逆数をとってみます。
$\displaystyle \frac{1}{a_1}=1,\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+4}{4a_n}$
$\displaystyle =\frac{a_n}{4a_n}+\frac{4}{4a_n}$
$\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{a_n}$
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{a_n}$
これは $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ としたくなりますね？

$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ とすると、
$\displaystyle b_1=\frac{1}{a_1}=1,b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}$
ですから、
$\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{4}+b_n$
となり $b_n$ は初項が1、公差が $\displaystyle \frac{1}{4}$ の等差数列になります。
$\displaystyle b_n=\frac{1}{4}(n-1)+1=\frac{1}{4}n+\frac{3}{4}$
また、 $b_n$ は $b_n\ne 0$ になります。

$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ としたので、 $\displaystyle a_n=\frac{1}{b_n}$ になります。
$\displaystyle a_n=\frac{1}{\frac{1}{4}n+\frac{3}{4}}$
$\displaystyle a_n=\frac{4}{n+3}$