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等差数列になる漸化式の問題の解法

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a_{n+1}=a_n+dの形の漸化式の一般項を求める問題です。

基本問題

a_1=1,a_{n+1}=a_n+5の一般項a_nをnの式で表しなさい。

解き方

第n+1項が第n項にある定数を足していくような漸化式です。
一定の値ずつ増えていくわけですから、このタイプの漸化式は等差数列になります。

解説

a_1=1,a_{n+1}=a_n+5の一般項a_nをnの式で表しなさい。

初項が1、公差が5の等差数列になりますね。
つまりa_n=5(n-1)+1=5n-4になります。

応用問題

\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+4}の一般項a_nをnの式で表しなさい。

解き方

「おいおい、前々形違うじゃないか?」
と思われるかもしれませんが、変形することでa_{n+1}=a_n+dの形の漸化式になります。
これが漸化式の問題の難しくもあり、面白くもある要素です。

解説

\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+4}の一般項a_nをnの式で表しなさい。

この式、分数になっているのが難しくしている要素です。

分数を消すために、両辺にa_n+4を掛ける手があります。
しかし、a_{n+1}\cdot a_nという項が出てきます。
これはこれで解きにくい

他に分数を消す方法が無いか?
よくよく見るとさらに難しくしているのは、分母がa_n+4と和になっている点です。
分母の和を取り払うためには、逆数をとるという手法があります。
逆数をとる際に1点注意しなければならないのは、0で除算してはいけないという点です。
式を変形する際はこれだけは忘れないでくださいね。

a_1>0ですがa_n=0となるnがあると仮定します。
\displaystyle a_{n}=\frac{4a_{n-1}}{a_{n-1}+4}ですから分子のa_{n-1}も0となり、すべてのa_nが0となり矛盾します。
よって、全ての自然数nに対しa_n\ne 0になります。

逆数をとってみます。
\displaystyle \frac{1}{a_1}=1,\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+4}{4a_n}
\displaystyle =\frac{a_n}{4a_n}+\frac{4}{4a_n}
\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{a_n}
\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{a_n}
これは\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}としたくなりますね

\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}とすると、
\displaystyle b_1=\frac{1}{a_1}=1,b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}
ですから、
\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{4}+b_n
となりb_nは初項が1、公差が\displaystyle \frac{1}{4}の等差数列になります。
\displaystyle b_n=\frac{1}{4}(n-1)+1=\frac{1}{4}n+\frac{3}{4}
また、b_nb_n\ne 0になります。

\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}としたので、\displaystyle a_n=\frac{1}{b_n}になります。
\displaystyle a_n=\frac{1}{\frac{1}{4}n+\frac{3}{4}}
\displaystyle a_n=\frac{4}{n+3}

従って、一般項は\displaystyle a_n=\frac{4}{n+3}になります。

終わりに

漸化式から数列がどんな数列になるかイメージするために良い問題です。
「次の項は前の項に一定の値を足す・・・等差数列か」
と、式を暗記せずに理解できると良いですね。

応用問題は問題を見た瞬間に「等差数列の形にできる」と気付くのは難しいでしょう。
実際a_nは等差数列では無いですからね。
知っている漸化式に変形するためにはどうしたらいいかを思いつけるようになりましょう。

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