隣接三項間の漸化式の問題の解法

隣接三項間の漸化式から一般項を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

$a_1=1,a_2=3,a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

第n項、第n+1項、第n+2項の3つの項の間の関係式から得られる数列です。
隣接三項間と呼ばれます。

今までの漸化式の解き方をまとめると以下のようになります。

漸化式	数列のタイプ
$a_{n+1}=a_n+d$	等差数列
$a_{n+1}=ra_n$	等比数列
$a_{n+1}=a_n+f(n)$	f(n)が階差数列の一般項
$a_{n+1}=pa_n+q$	pのn乗に関する項と定数項

$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$ はどれかのタイプになりそうですかね？
なるとすればまずn+2,n+1,nという3つではなく、n+1,nの2つに式を変えたいですね。

ここからしばらく証明的な内容になります。
なぜそうなるのか？という興味のある方だけクリックしてお読みください。

隣接三項間の漸化式が何故解けるのか

解法の要点だけおさらいしておきます。
隣接三項間の漸化式
$pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$
に対して隣接三項間の特性方程式
$pv^2+qv+r=0$
の解 $v_1,v_2$ を使って漸化式は
$\displaystyle a_{n+2}-v_1a_{n+1}=v_2(a_{n+1}-v_1a_n)$
$\displaystyle a_{n+2}-v_2a_{n+1}=v_1(a_{n+1}-v_2a_n)$
の2通りに表すことができます。

解説

$a_1=1,a_2=3,a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解いていきましょう。
まず漸化式を、
$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$
に変形します。

$v^2$ の係数が $a_{n+2}$ の係数
$v$ の係数が $a_{n+1}$ の係数
$1$ の係数が $a_{n}$ の係数

の二次方程式の解を求めるんでしたね。
これは $a_{n+2} \rightarrow v^2,a_{n+1} \rightarrow v,a_n \rightarrow 1$ という置き換えで同じことができます。

$v^2-3v+2=0$
$(v-2)(v-1)=0$
という事でv=2,1です。

$b_n=a_{n+1}-va_n$
と変形すると隣接三項間を隣接二項間に変形できます。

v=2を使って $b_{n}=a_{n+1}-2a_n$ から求める
$b_{n}=a_{n+1}-2a_n$
$b_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}$
$b_1=a_2-2a_1=3-2=1$
これを使って元の漸化式 $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ を変形します。
$a_{n+2},a_n$ の係数に着目すると、
$b_{n+1}-b_n=0$
となるはずです。
特性方程式から求めたvから作った $b_n$ の式なので、 $a_{n+1}$ は必ず消えます。
※公式から解の2を $a_n$ の係数として使ったので、残りの解の1を $b_n$ の係数として使って書くこともできます。
※公式を覚えていればそれで構いません。
$b_{n+1}=b_n$
ですからこの数列 $\{b_n\}$ は常に一定であることがわかりました。
$a_{n+1}=2a_n+1$ が得られます。
これは等比数列と定数項の和になる漸化式です。

特性方程式 $x=2x+1$ から $x=-1$ を使って
$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$ が得られます。
$c_n=a_n+1$ とすると $c_1=a_1+1=1+1=2$
$c_{n+1}=2c_n$
なので $c_n$ は初項2、公比2の等比数列です。
$c_n=2\cdot 2^{n-1}$
$a_n+1=2^n$
$a_n=2^n-1$

v=1を使って $b_{n}=a_{n+1}-a_n$ から求める
$b_{n}=a_{n+1}-a_n$
$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$
$b_1=a_2-a_1=3-1=2$
これを使って元の漸化式 $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ を変形します。
$a_{n+2},a_n$ の係数に着目すると、
$b_{n+1}-2b_n=0$
となるはずです。
やはり特性方程式から求めたvから作った $b_n$ の式なので、 $a_{n+1}$ は必ず消えます。
$b_{n+1}=2b_n$
ですからこの数列 $\{b_n\}$ は初項2,公比2の等比数列になります。
$b_n=2\cdot 2^{n-1}$ となります。
$a_{n+1}-a_n=2\cdot 2^{n-1}$ が得られます。
これは階差数列から求める漸化式の問題です。

よって $n\geq 2$ なるnに対して、
$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} 2\cdot 2^{k-1}$
$\displaystyle a_n=1+2\frac{2^{n-1}-1}{2-1}$
$\displaystyle a_n=1+2\cdot 2^{n-1}-2$
$\displaystyle a_n=2^n-1$

v=2,v=1両方から求める
v=2からは $a_{n+1}=2a_n+1$ が得られました。
v=1からは $a_{n+1}-a_n=2\cdot 2^{n-1}$ が得られました。
上記ではこれらのいずれかの漸化式のみを使って $a_n$ 求めていきました。
でも、 $a_{n+1},a_n$ の式が2つあれば $a_n$ を求める事ができますね？
連立方程式の考え方です。