等比数列になる漸化式の問題の解法

$a_{n+1}=ra_n$ の形の漸化式の一般項を求める問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

$a_1=2,a_{n+1}=3a_n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

第n+1項が第n項にある定数を掛けていくような漸化式です。
一定の値倍で増えていくわけですから、このタイプの漸化式は等比数列になります。

解説

$a_1=2,a_{n+1}=3a_n$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

初項2、公差が3の等比数列です。
つまり $a_n=2\cdot 3^{n-1}$ になります。

応用問題

$a_1=2,a_{n+1}=a_n^3$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

解き方

変形して $a_{n+1}=ra_n$ の形の漸化式にしましょう。
指数が指数でなくなり、例えば係数になれば良いですね？

解説

$a_1=2,a_{n+1}=a_n^3$ の一般項 $a_n$ をnの式で表しなさい。

指数なので爆発的に増えていきそうですね。
解き方にもありますが、指数を指数でなくします。
指数を消してくれるもの、そう、対数です。
対数をとるときには0より大きいという真数条件を忘れないでくださいね。

$a_{n+1}=a_n^3$ の両辺の対数を取りたいですね。
$a_1=2$ です。
$a_n \leq 0$ となるnがあると仮定します。
$a_n=a_{n-1}^3$ ですから $a_{n-1} \leq 0$ になります。
続けていくと $a_1 \leq 0$ になり矛盾します。
従って $a_n > 0$ になります。

$a_{n+1}=a_n^3$ の両辺の対数を取ります。
初項が2なので底を2にしておきます。
$\log{2} a_{n+1}=\log{2} a_n^3$
$\log{2} a_{n+1}=3\log{2} a_n$
$b_n=\log{2} a_n$ としたくなる形になりました。

$b_n=\log{2} a_n$ とすると、
$b_1=\log{2} a_1=\log{2} 2=1,b_{n+1}=\log{2} a_{n+1}$ となり、
$b_{n+1}=3b_n$
$b_n$ は初項が1、公比3の等比数列です。
$b_n=3^{n-1}$

$b_n=\log{2} a_n$ でした。
$\log{2} a_n=3^{n-1}$ になります。
これを変形して $a_n=2^{3^{n-1}}$ になります。

ちなみに
$y=a^x$
として底がaの対数をとると
$\log{a} y=\log{a} a^x$
$\log{a} y=x\log{a} a$
$\log{a} y=x$
になります。
$y=a^x$ と $\log{a} y=x$ を見比べます。
底aと真数yがxであれば、底aのx乗が真数yになる、という事です。
$\log{2} a_n=3^{n-1}$ に当てはめます。
底2の $3^{n-1}$ 乗が真数 $a_n$ になる、という事ですね。
つまり $a_n=2^{3^{n-1}}$ です。