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等比数列になる漸化式の問題の解法

a_{n+1}=ra_nの形の漸化式の一般項を求める問題です。

基本問題

a_1=2,a_{n+1}=3a_nの一般項a_nをnの式で表しなさい。

解き方

第n+1項が第n項にある定数を掛けていくような漸化式です。
一定の値倍で増えていくわけですから、このタイプの漸化式は等比数列になります。

解説

a_1=2,a_{n+1}=3a_nの一般項a_nをnの式で表しなさい。

初項2、公差が3の等比数列です。
つまりa_n=2\cdot 3^{n-1}になります。

応用問題

a_1=2,a_{n+1}=a_n^3の一般項a_nをnの式で表しなさい。

解き方

変形してa_{n+1}=ra_nの形の漸化式にしましょう。
指数が指数でなくなり、例えば係数になれば良いですね?

解説

a_1=2,a_{n+1}=a_n^3の一般項a_nをnの式で表しなさい。

指数なので爆発的に増えていきそうですね。
解き方にもありますが、指数を指数でなくします。
指数を消してくれるもの、そう、対数です
対数をとるときには0より大きいという真数条件を忘れないでくださいね。

a_{n+1}=a_n^3の両辺の対数を取りたいですね。
a_1=2です。
a_n \leq 0となるnがあると仮定します。
a_n=a_{n-1}^3ですからa_{n-1} \leq 0になります。
続けていくとa_1 \leq 0になり矛盾します。
従ってa_n > 0になります。

a_{n+1}=a_n^3の両辺の対数を取ります。
初項が2なので底を2にしておきます。
\log{2} a_{n+1}=\log{2} a_n^3
\log{2} a_{n+1}=3\log{2} a_n
b_n=\log{2} a_nとしたくなる形になりました。

b_n=\log{2} a_nとすると、
b_1=\log{2} a_1=\log{2} 2=1,b_{n+1}=\log{2} a_{n+1}となり、
b_{n+1}=3b_n
b_nは初項が1、公比3の等比数列です。
b_n=3^{n-1}

b_n=\log{2} a_nでした。
\log{2} a_n=3^{n-1}になります。
これを変形してa_n=2^{3^{n-1}}になります。

ちなみに
y=a^x
として底がaの対数をとると
\log{a} y=\log{a} a^x
\log{a} y=x\log{a} a
\log{a} y=x
になります。
y=a^x\log{a} y=xを見比べます。
底aと真数yがxであれば、底aのx乗が真数yになる、という事です。
\log{2} a_n=3^{n-1}に当てはめます。
底2の3^{n-1}乗が真数a_nになる、という事ですね。
つまりa_n=2^{3^{n-1}}です。

一応、3乗して、3乗して、というルールなので、
a_1=2^{3^0}
a_2=2^{3^1}
a_3=2^{3^2}
・・・
a_n=2^{3^{n-1}}
という考えもできますね。

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終わりに

こちらも漸化式から数列がどんな数列になるかイメージするために良い問題です。
「次の項は前の項を一定倍する・・・等比数列か」
と、式を暗記せずに理解できると良いですね。

等差数列の応用問題に比べると想像しやすいかもしれません。
それでも問題を見た瞬間に「等比数列の形にできる」と気付くのは難しいかもしれません。
やはり知っている漸化式に変形するためにはどうしたらいいかを思いつけるようになりましょう。

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