不定積分の問題の解法

関数f(x)の不定積分を行う問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の不定積分を求めなさい。
(1) $\int 6x^2+4x+2 dx$
(2) $\int (t-1)^3 dt-\int (t+1)^3 dt$

解き方

何を微分したら被積分関数になるのか考えるとわかりやすいと思います。
とくに文字に着目し、 $x^2$ なら $x^3$ が微分されているという点から攻めると良いでしょう。
また、不定積分は積分定数が必要になります。
定数を微分すると消えるので、どんな定数が付いていたのか、被積分関数には情報がありません。
(0かもしれないけど)定数があったはずだよという思いを込めて積分定数を忘れずに書きましょう。

解説

(1) $\int 6x^2+4x+2 dx$
慣れてしまえば1オペなのですが、細かく見ていきましょう。

$\int 6x^2+4x+2 dx$
不定積分はばらすことができます。
$\int f(x)+g(x) dx=\int f(x) dx+\int g(x) dx$
ですね。
$=\int 6x^2 dx+\int 4x dx+\int 2 dx$
係数を積分の外に出すこともできます。
$\int kf(x) dx=k\int f(x) dx$
ですね。
$=6\int x^2 dx+4\int x dx+2\int 1 dx$
ここで、
$\displaystyle \int x^2 dx=\frac{1}{3}x^3$
$\displaystyle \int x dx=\frac{1}{2}x^2$
$\displaystyle \int 1 dx=x$
なので、
$\displaystyle =6\frac{1}{3}x^3+4\frac{1}{2}x^2+2\cdot x+C$
$\displaystyle =2x^3+2x^2+2x+C$
( $C$ は積分定数)

しかし毎回こんな感じでやってるとちょっと疲れますね。
$\int 6x^2+4x+2 dx$
は $x^2,x,1$ の項がありますから $x^3,x^2,x$ の項（と積分定数）が積分すると現れますね。
「 $x^3$ を微分して $6x^2$ になるためには $x^3$ の係数は何かな？」
「 $(x^3)'=3x^2$ だから2倍して $2(x^3)'=6x^2$ になるから、 $2x^3$ だな」
で求めていくと良いです。
$\int 6x^2+4x+2 dx=$ $\circ$ $x^3$
ととりあえず $x^3$ を書いて、その微分で3が出るから、 $3\times 2=6$ で2をつけてあげるといいです。
$\int 6x^2+4x+2 dx=$ $2$ $x^3$
後は同じ要領で残りも計算しましょう。

(2) $\int (t-1)^3 dt-\int (t+1)^3 dt$
1つ1つ進めていきましょう。
$\int (t-1)^3 dt-\int (t+1)^3 dt$
$=\int t^3-3t^2+3t-1 dt-\int t^3+3t^2+3t+1 dt$
$=\int t^3 dt-\int 3t^2 dt+\int 3t dt-\int 1 dt-\int t^3 dt-\int 3t^2 dt-\int 3t dt-\int 1 dt$
$=-2\int 3t^2 dt-2\int 1 dt$
だいぶスッキリしましたね。
$=-6\int t^2 dt-2\int 1 dt$
$\displaystyle =-6\frac{1}{3}t^3-2\cdot t$
$\displaystyle =-2t^3-2t$