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定積分の問題の解法

定積分の計算問題です。

基本問題

次の定積分の値を求めなさい。
(1)\int_0^2 2x+1 dx
(2)\int_1^2 x^3+x^2+x+1 dx

解き方

定積分の基本としては「不定積分して積分区間の値を代入」です。

解説

(1)\int_0^2 2x+1 dx
計算していきます。

まず不定積分です。
\int 2x+1 dx=x^2+x+C
ですね。
これに積分区間の値を代入します。
\int_0^2 2x+1 dx=[x^2+x]_0^2
=(2^2+2)-(0^2+0)=4+2-0
=6

(2)\int_1^2 x^3+x^2+x+1 dx
計算していきます。

まず不定積分です。
\displaystyle \int x^3+x^2+x+1 dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+C
ですね。
これに積分区間の値を代入します。
\displaystyle \int_1^2 x^3+x^2+x+1 dx=\left[\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right]_1^2
\displaystyle =\left(\frac{1}{4}2^4+\frac{1}{3}2^3+\frac{1}{2}2^2+2\right)-\left(\frac{1}{4}1^4+\frac{1}{3}1^3+\frac{1}{2}1^2+1\right)
\displaystyle =\left(4+\frac{8}{3}+2+2\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right)
\displaystyle =\left(\frac{12+8+6+6}{3}\right)-\left(\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{6}{12}+\frac{12}{12}\right)
\displaystyle =\frac{32}{3}-\frac{25}{12}
\displaystyle =\frac{128}{12}-\frac{25}{12}
\displaystyle =\frac{103}{12}

終わりに

単純に定積分するだけであれば、それほど難しい問題ではないと思います。
計算は分数の足し算が出てくるので、少々面倒かもしれません。
が、間違えなければ得点できる問題になるので、より正確に、より早く解けるようにしておきましょう。

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