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自身の定積分の値を含む関数の問題の解法

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タイトルで意味が伝わるか少々怪しいところがありますが、そういう問題です。
f(x)=g(x)+\int_a^b f(t) dtのような式が出てくる問題です。

基本問題

f(x)=3x^2+\int_0^2 f(t) dtで表される関数f(x)を求めなさい。

解き方

関数の中の定積分は何かの値になるはずです。
a=\int_0^2 f(t) dt
として計算を進めます。

解説

f(x)=3x^2+\int_0^2 f(t) dtで表される関数f(x)を求めなさい。

f(x)=3x^2+\int_0^2 f(t) dt
の被積分関数にこの積分の関数を代入して・・・
f(x)=3x^2+\int_0^2 (3t^2+\int_0^2 f(v) dv) dt
の被積分関数にこの積分の関数を代入して・・・
f(x)=3x^2+\int_0^2 (3t^2+\int_0^2 (3v^2+\int_0^2 f(u) du) dv) dt
いつまでも続きます

f(x)が決まっていないとはいえ、f(x)が決まるなら
\int_0^2 f(t) dt
は1つの値になります。
a=\int_0^2 f(t) dt
としましょう。
f(x)=3x^2+a
これならどうでしょうか?

f(x)=3x^2+\int_0^2 f(t) dt
の被積分関数にf(x)=3x^2+aを代入して・・・
f(x)=3x^2+\int_0^2 (3t^2+a) dt
=3x^2+[t^3+at]_0^2
=3x^2+(2^3+2a)-0
=3x^2+2^3+2a
f(x)=3x^2+aなのでa=f(x)-3x^2です。
=3x^2+2^3+2(f(x)-3x^2)
f(x)=3x^2+8+2f(x)-6x^2)
f(x)-2f(x)=-3x^2+8
-f(x)=-3x^2+8
f(x)=3x^2-8

あるいはaを求めても良いですね。
a=\int_0^2 3t^2+a dt
=[t^3+at]_0^2
=8+2a
a=-8
f(x)=3x^2+aに代入して、
f(x)=3x^2+a=3x^2-8

これは
a=\int_0^2 3t^2-8 dt=[t^3-8t]_0^2=(8-16)-0=-8
となり、確かに
f(x)=3x^2-8
となります。

終わりに

積分する文字以外の文字を含まない定積分の結果は定数になります。
定積分を一度a等の文字で表してみると計算が進むこともあります。

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