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積分区間に変数がある問題の解法

積分区間に変数があるような問題です。

基本問題

f(x)=\int_0^x t^2-1 dtを微分しなさい。

解き方

\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)
になります。
普通に微分しても良いですけどね。

解説

f(x)=\int_0^x t^2-1 dtを微分しなさい。
両辺xで微分します。

\displaystyle f'(x)= \frac{d}{dx}\int_0^x t^2-1 dt
公式より、被積分関数にそのままxを代入した形になります。
= x^2-1

なお、普通に積分してf(x)を求めてみましょう。
f(x)=\int_0^x t^2-1 dt
\displaystyle =[\frac{1}{3}t^3-t]_0^x
\displaystyle =\left(\frac{1}{3}x^3-x\right)-0
\displaystyle =\frac{1}{3}x^3-x
微分します。
\displaystyle f'(x)=\left(\frac{1}{3}x^3-x\right)'
=x^2-1

応用問題

\int_a^x f(t) dt=x^2-1となるときのf(x),aを求めなさい。

解き方

左辺の積分区間にxが含まれています。
基本問題と同じく、微分するとf(x)になりますね。
この性質を使ってみます。

積分して2次関数になるという事は、被積分関数は1次関数になりそうですね。
f(x)=sx+tの形から求めても解くことはできます。

解説

\int_a^x f(t) dt=x^2-1となるときのf(x),aを求めなさい。

両辺をxで微分します。
左辺\displaystyle =\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)
右辺\displaystyle =\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x
よってf(x)=2xです。

\int_a^x f(t) dt=x^2-1にx=aを代入します。
\int_a^a f(t) dt=a^2-1です。
一方、積分区間が無くなりますから\int_a^a f(t) dt=0です。
これよりa^2-1=0
よって、a=\pm 1になります。

f(x)=2x,a=\pm 1になります。

念のため合っているか確認してみましょう。

a=-1のときは、
\int_{-1}^x 2t dt=[t^2-1]_{-1}^x
=(x^2-1)-(1-1)
=x^2-1

a=1のときは、
\int_{1}^x 2t dt=[t^2-1]_{1}^x
=(x^2-1)-(1-1)
=x^2-1

確かに成り立ちますね。

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終わりに

積分区間に変数が含まれている場合は微分すると早く答えにたどり着ける場合があります。
パターンとして覚えておいても良いと思います。

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