奇関数と偶関数の性質を使った定積分の問題の解法

奇関数と偶関数の性質を使うと計算が楽になる定積分の問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の定積分の値を求めなさい。
(1) $\int_{-2}^2 2x+1 dx$
(2) $\int_{-1}^1 x^3+3x^2+x+1 dx$

解き方

定積分の積分区間が $[-a,a]$ のとき、奇関数と偶関数でそれぞれ計算を簡単にできる性質があります。
まずその奇関数と偶関数の性質についての証明的な内容になります。
なぜそうなるのか？という興味のある方だけクリックしてお読みください。

奇関数と偶関数の定積分の性質が成り立つ理由

f(x)が奇関数のとき、 $\int_{-a}^{a} f(x) dx=0$
f(x)が偶関数のとき、 $\int_{-a}^{a} f(x) dx=2\int_{0}^{a} f(x) dx$

これは積分の被積分関数で分割する性質を使うと更に有効な使い方ができます。
f(x)が奇関数g(x)と偶関数h(x)の和で書けるとき、
$\int_{-a}^{a} f(x) dx=\int_{-a}^{a} g(x)+h(x) dx$
$=\int_{-a}^{a} g(x) dx+\int_{-a}^{a} h(x) dx$
$=2\int_{0}^{a} h(x) dx$
になります。

解説

(1) $\int_{-2}^2 2x+1 dx$

$g(x)=2x$ は奇関数、 $h(x)=1$ は偶関数です。
被積分関数は $2x+1=g(x)+h(x)$ で表されます。
積分区間が $[-a,a]$ の形です。
$\int_{-2}^2 2x+1 dx=2\int_{0}^2 1 dx$
になります。

計算すると、
$=2([x]_0^2)$
$=2(2-0)$
$=4$

(2) $\int_{-1}^1 x^3+3x^2+x+1 dx$

$g(x)=x^3+x$ は奇関数、 $h(x)=3x^2+1$ は偶関数です。
被積分関数は $x^3+3x^2+x+1=g(x)+h(x)$ で表されます。
積分区間が $[-a,a]$ の形です。
$\int_{-1}^1 x^3+3x^2+x+1 dx=2\int_{0}^1 3x^2+1 dx$
になります。