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数学Ⅱ公式一覧

数学Ⅱの範囲の公式の一覧です。
「図書館で数学の勉強しようと思ったのに公式忘れて勉強にならない!」
という方が確認する目的に、シンプルに式だけ書いています。
いずれ理由は抜きにして使い方だけは補足するかもしれません。

目次から目的の公式に飛べます。
※ごめんなさい、執筆中で公開してしまいました。

式と証明

式の展開と因数分解

3次式

\left( a+b \right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\left( a-b \right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\left( a+b \right) \left( a^2-ab+b^2 \right) =a^3+b^3
\left( a-b \right) \left( a^2+ab-b^2 \right) =a^3-b^3

二項定理

二項

\left( a+b \right)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+_nC_2a^{n-2}b^2+...+_nC_ma^{n-m}b^m+...+_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n
見にくい方向けに改行して見ます。
\left( a+b \right)^n
=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+_nC_2a^{n-2}b^2+...
+_nC_ma^{n-m}b^m+...
+_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n

三項

\left(a+b+c\right)^nの項a^pb^qc^r \left( p+q+r=n \right)の係数は、
\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}

整式の除法

商と余り

整式Aを整式Bで割ったときの商をQ、余りをRとすると、
A=BQ+Rで、Rの次数<Bの次数

2次方程式

複素数の等号

a,b,c,dが実数のとき、a+bi+c+diであるとは、a=cかつb=d

解の公式①

2次方程式ax^2+bx+c=0の解は次の式であらわされる。
\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

解の公式②

2次方程式ax^2+2bx+c=0の解は次の式であらわされる。
\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-ac}}{a}

判別式①

2次方程式ax^2+bx+c=0の判別式Dは次の式であらわされる。
\displaystyle D=b^2-4ac

判別式②

2次方程式ax^2+2bx+c=0の判別式Dは次の式であらわされる。
\displaystyle D=b^2-ac

2次方程式の解の判別

2次方程式ax^2+bx+c=0の判別式Dと解について
D > 0ならば異なる二つの実数解を持つ
D=0ならば重解を持つ
D < 0ならば異なる二つの虚数解を持つ
逆も同様に、
異なる二つの実数解を持つならばD > 0
重解を持つならばD=0
異なる二つの虚数解を持つならばD < 0
これは判別式②を使ってもOK

解と係数の関係

2次方程式ax^2+bx+c=0の解\alpha,\betaについて、
\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a}
\displaystyle \alpha \times \beta = \frac{c}{a}

解と因数分解

2次方程式ax^2+bx+c=0の解を\alpha,\betaとすると、
ax^2+bx+c = a \left( x- \alpha \right) \left( x- \beta \right)

2数を解とする2次方程式

2数\alpha,\betaを解とする2次方程式の1つは、p= \alpha + \beta,q= \alpha \betaとすると、
x^2-px+q=0

2次方程式の2つの解の正負と判別式と係数

aが正の2次方程式ax^2+bx+c=0の解\alpha,\betaについて、
\alpha,\betaが共に正ならば、判別式が0以上、bが負、cが正
\alpha,\betaが異符号ならば、cが負
\alpha,\betaが共に負ならば、判別式が0以上、bが正、cが正
これは逆も成り立ち、
判別式が0以上、bが負、cが正ならば、\alpha,\betaが共に正
cが負ならば、\alpha,\betaが異符号
判別式が0以上、bが正、cが正ならば、\alpha,\betaが共に負
なお、aが負のときはb,cの正負が逆転する。

高次方程式

剰余の定理

整式P \left( x \right)x-\alphaで割ったときの余りはP\left( \alpha \right)

因数の定理

整式P \left( x \right)x-\alphaを因数にもつならば、P\left( \alpha \right) = 0
これは逆も成り立ち、P\left( \alpha \right) = 0ならば、整式P \left( x \right)x-\alphaを因数にもつ。

1の3乗根

\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}は1の三乗根となる。
更にいずれか一方を\omegaとすると\omega^2+\omega+1=0となる。

因数定理と高次方程式の因数分解

P\left( \alpha \right) = 0ならば、整式P \left( x \right)x-\alphaを因数にもち、除算できる。
これによりP \left( x \right)の次数よりも1次低いQ \left( x \right)を用いて、
P \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) Q \left( x \right)
と表すことができる。

恒等式

恒等式の証明

2つの整式P \left( x \right)Q \left( x \right)について、
P \left( x \right) = Q \left( x \right)xについての恒等式である」
ならば、「2つの整式P \left( x \right)Q \left( x \right)は同じ次数の項の係数が一致する。

不等式の性質

a > b,b > c \rightarrow a > c
a > b \rightarrow a+c > b+c,a-c > b-c
\displaystyle a > b, c > 0 \rightarrow ac > bc,\frac{a}{c} > \frac{b}{c}
\displaystyle a > b, c < 0 \rightarrow ac < bc,\frac{a}{c} < \frac{b}{c}

不等式の証明方法①

P \left( x \right) < Q \left( x \right)の証明はP \left( x \right) - Q \left( x \right) < 0を示すことで証明できる。

不等式の証明方法②

実数aに対し、a^2 \geqq 0が常に成り立つ。

不等式の証明方法③

実数a,bに対し、a^2 + b^2 \geqq 0が常に成り立つ。
また、a^2 + b^2 = 0ならばa=b=0

不等式の証明方法④

2数a > 0,b > 0に対し、a^2 \geqq b^2 ならばa \geqq b が成り立つ。
これは逆も同様に、a \geqq b ならばa^2 \geqq b^2 が成り立つ。

コーシー・シュワルツの不等式

\left( a^2 + b^2 \right)\left( x^2 + y^2 \right) \geqq \left( ax+by \right)^2
\left( a^2 + b^2 + c^2 \right)\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \geqq \left( ax+by+cz \right)^2

相加平均と相乗平均の関係式

2数a > 0,b > 0の相加平均を\displaystyle \frac{a+b}{2}、相乗平均を\sqrt{ab}と言い、2つの間に常に次の関係式が成り立つ。
\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}
統合はa=bのとき成り立つ。

図形と方程式

2点間の距離

2点A\left( x_a,y_a \right),B\left( x_b,y_b \right)の距離は、
\displaystyle AB=\sqrt{\left( x_b-x_a \right)^2+\left( y_b-y_a \right)^2}
特に、原点との距離は、
\displaystyle OA=\sqrt{x_a^2+y_a^2}

内分点、外分点

内分点

2点A\left( x_a,y_a \right),B\left( x_b,y_b \right)m:nに内分する点Pは
\displaystyle P=\left( \frac{nx_a+mx_b}{m+n} ,\frac{ny_a+my_b}{m+n} \right)
特に中点は1:1に内分する点で
\displaystyle \left( \frac{x_a+x_b}{2} ,\frac{y_a+y_b}{2} \right)

2点A\left( x_a,y_a \right),B\left( x_b,y_b \right)m:nに外分する点Pは
\displaystyle P=\left( \frac{-nx_a+mx_b}{m-n} ,\frac{-ny_a+my_b}{m-n} \right)

重心

3点A\left( x_a,y_a \right),B\left( x_b,y_b \right),C\left( x_c,y_c \right)を頂点とする\triangle{ABC}の重心Gは
\displaystyle G=\left( \frac{x_a+x_b+x_c}{3} ,\frac{y_a+y_b+y_c}{3} \right)

直線の方程式

点と傾き

A\left( x_a,y_a \right)を通り、傾きmの直線は
y-y_a=m \left( x-x_a \right)

2点を通る直線

A\left( x_a,y_a \right),B\left( x_b,y_b \right)を通る直線は
\displaystyle y-y_a= \frac{\left( y_b-y_a \right)}{\left( x_b-x_a \right)} \left( x-x_a \right)
※あるいは\displaystyle y-y_b= \frac{\left( y_b-y_a \right)}{\left( x_b-x_a \right)} \left( x-x_b \right)でも良い
ただしx_a=x_bのときはx=x_aとなる。

平行①

2直線y=ax+b,y=a'x+b'が平行となる条件は
\displaystyle a=a'

平行②

2直線ax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0が平行となる条件は
\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{b'}{a'}

垂直①

2直線y=ax+b,y=a'x+b'が垂直となる条件は
\displaystyle aa'=-1

垂直②

2直線ax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0が垂直となる条件は
\displaystyle \frac{b}{a}\frac{b'}{a'}=-1

点と直線の距離

P\left( x_p,y_p \right)と直線ax+by+c=0の距離dは、
\displaystyle d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
分母はx,yの係数の二乗の和、分子は直線の式に点を代入した値の絶対値。

三角形の面積

原点と点A\left( x_a,y_a \right)、点B\left( x_b,y_b \right)が作る三角形の面積S
\displaystyle S=\frac{1}{2}|x_ay_b-x_by_a|

円の方程式

中心O\left( x_o,y_o \right)、半径rの円の方程式は
\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2=r^2
展開すると、x^2+y^2+lx+my+n=0の方程式で表すことができる。
また、特に中心が原点のときは
x^2 + y^2=r^2

円と直線の交点

\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2=r^2と直線ax+by+c=0を連立するとxの2次方程式が得られる。
2次方程式の判別式Dは、
D > 0ならば円と直線の共有点は2個
D = 0ならば円と直線の共有点は1個
D < 0ならば円と直線の共有点はない
であり、この逆も成り立ち、
円と直線の共有点は2個ならばD > 0
円と直線の共有点は1個ならばD = 0
円と直線の共有点はないならばD < 0

円の接線

\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2=r^2と点A\left( x_a,y_a \right)の接線は
\left( x-x_o \right)\left( x_a-x_o \right) + \left( y-y_o \right)\left( y_a-y_o \right)=r^2
特に中心が原点のときは、
x_ax + y_ay=r^2

2円の交点を通る直線

2つの円x^2+y^2+lx+my+n=0x^2+y^2+l'x+m'y+n'=0とし、
f(x,y)=x^2+y^2+lx+my+n,g(x,y)=x^2+y^2+l'x+m'y+n'とすると、2円の交点を通る直線は、
f(x,y)-g(x,y)=0で得られる。
すなわち(l-l')x+(m-m')y+n-n'=0

2円の交点を通る円

2つの円x^2+y^2+lx+my+n=0x^2+y^2+l'x+m'y+n'=0とし、
f(x,y)=x^2+y^2+lx+my+n,g(x,y)=x^2+y^2+l'x+m'y+n',k \ne -1とすると、2円の交点を通る円は、
f(x,y)+kg(x,y)=0で得られる。
すなわち(1+k)\left(x^2+y^2\right)+(l+kl')x+(m+km')y+n+kn'=0

軌跡と領域

直線と領域

不等式y > ax+bの表す領域は直線y=ax+bの上側
不等式y < ax+bの表す領域は直線y=ax+bの下側
等号は直線上

曲線と領域

不等式y > f(x)の表す領域は直線y=f(x)の上側
不等式y < f(x)の表す領域は直線y=f(x)の下側
等号は直線上

円と領域

不等式\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2 > r^2の表す領域は円\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2=r^2の外部
不等式\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2 < r^2の表す領域は円\left( x-x_o \right)^2 + \left( y-y_o \right)^2=r^2の内部
等号は境界線上

三角関数

弧度法

弧度法と角

\displaystyle 1^{\circ} =\frac{\pi}{180}
\displaystyle 1 =\frac{180}{\pi}^{\circ}
\displaystyle \pi =180^{\circ}

扇形の弧の長さと面積

半径r、中心角\thetaの扇形の弧の長さlは、
l=r \theta
面積S
\displaystyle S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}r^2 \theta

三角関数

象限と正負

三角関数第1象限第2象限第3象限第4象限
\sin{\theta}++
\cos{\theta}++
\tan{\theta}++

三角関数の相互関係

\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1
\displaystyle \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\displaystyle 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}

三角関数の性質

ちなみにこれらは覚えないことをお勧めします。
グラフの性質、もしくは、三角関数の加法定理を使えば間違えずに作れるようになります。

\theta+2n\piの性質

\sin{\left( \theta+2n\pi \right)}=\sin{\theta}
\cos{\left( \theta+2n\pi \right)}=\cos{\theta}
\tan{\left( \theta+2n\pi \right)}=\tan{\theta}

-\thetaの性質

\sin{\left( -\theta \right)}=-\sin{\theta}
\cos{\left( -\theta \right)}=\cos{\theta}
\tan{\left( -\theta \right)}=-\tan{\theta}

\displaystyle \theta+\frac{\pi}{2}の性質

\displaystyle \sin{\left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)}=\cos{\theta}
\displaystyle \cos{\left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)}=-\sin{\theta}
\displaystyle \tan{\left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)}=-\frac{1}{\tan{\theta}}

\theta+\piの性質

\sin{\left( \theta+\pi \right)}=-\sin{\theta}
\cos{\left( \theta+\pi \right)}=-\cos{\theta}
\tan{\left( \theta+\pi \right)}=\tan{\theta}

\displaystyle \frac{\pi}{2}-\thetaの性質

\displaystyle \sin{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)}=\cos{\theta}
\displaystyle \cos{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)}=\sin{\theta}
\displaystyle \tan{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)}=\frac{1}{\tan{\theta}}

\pi-\thetaの性質

\sin{\left( \pi-\theta \right)}=\sin{\theta}
\cos{\left( \pi-\theta \right)}=-\cos{\theta}
\tan{\left( \pi-\theta \right)}=-\tan{\theta}

三角関数の周期

\sin{\theta},\cos{\theta}の周期は2\pi
\tan{\theta}の周期は\pi

\sin{a\theta},\cos{a\theta}の周期は\displaystyle \frac{2\pi}{a}
\tan{a\theta}の周期は\displaystyle \frac{\pi}{a}

三角関数と偶関数、奇関数

f(-x)=f(x)が成り立つ関数を偶関数、f(-x)=-f(x)が成り立つ関数を奇関数という。
\sin{\theta},\tan{\theta}は奇関数、\cos{\theta}は偶関数となる。

加法定理

加法定理

\sin{\left( \alpha + \beta \right)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}
\sin{\left( \alpha - \beta \right)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}
\cos{\left( \alpha + \beta \right)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}
\cos{\left( \alpha - \beta \right)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}
\displaystyle \tan{\left( \alpha + \beta \right)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}
\displaystyle \tan{\left( \alpha - \beta \right)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}

倍角の公式

\sin{\left( 2\alpha \right)}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}
\cos{\left( 2\alpha \right)}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}
=1-2\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1
\displaystyle \tan{\left( 2\alpha \right)}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}

半角の公式

\displaystyle \sin^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}
\displaystyle \cos^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}
\displaystyle \tan^2{\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}

3倍角の公式

\sin{\left( 3\alpha \right)}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}
\cos{\left( 3\alpha \right)}=-3\cos{\alpha}+4\cos^3{\alpha}

和と積の公式

積を和に直す公式は、
\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\left\{ \sin{\left( \alpha + \beta \right)} + \sin{\left( \alpha - \beta \right)} \right\}
\displaystyle \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\left\{ \sin{\left( \alpha + \beta \right)} - \sin{\left( \alpha - \beta \right)} \right\}
\displaystyle \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\left\{ \cos{\left( \alpha + \beta \right)} + \cos{\left( \alpha - \beta \right)} \right\}
\displaystyle \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\left\{ \cos{\left( \alpha + \beta \right)} + \cos{\left( \alpha - \beta \right)} \right\}

和を積に直す公式は、
\displaystyle \sin{A} + \sin{B} =2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}
\displaystyle \sin{A} - \sin{B} =2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}
\displaystyle \cos{A} + \cos{B} =2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}
\displaystyle \cos{A} + \cos{B} =-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}

三角関数の合成

\displaystyle a\sin{\theta} + b\cos{\theta} =\sqrt{a^2+b^2}\sin{\theta+\alpha}
ただし、\alpha\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}なる\alpha

指数関数

指数法則

指数の拡張①

※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
a \ne 0mが整数のとき、
\displaystyle a^0=1,a^{-m}=\frac{1}{a^m}
とする。

指数法則①

a \ne 0,b \ne 0m,nが整数のとき、
a^ma^n=a^{m+n}
a^m \div a^n=a^{m-n}
\left( a^m \right)^n=a^{mn}
\left( ab \right)^m=a^mb^m
\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^m=\frac{a^m}{b^m}

指数法則②

累乗根に対しても指数が正の数のとき、指数法則が成り立ちます。
a \ne 0,b \ne 0m,n,pが正の整数のとき、
\sqrt[m]{a}\sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{ab}
\displaystyle \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}}
\displaystyle \left( \sqrt[m]{a} \right)^n=\sqrt[m]{a^n}
\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}
\displaystyle \sqrt[mp]{a^{np}}=\sqrt[m]{a^n}

指数の拡張②

※これも定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
a \ne 0m,nが整数のとき、
\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
とする。

指数法則③

a \ne 0,b \ne 0m,nが有理数のとき、
a^ma^n=a^{m+n}
a^m \div a^n=a^{m-n}
\left( a^m \right)^n=a^{mn}
\left( ab \right)^m=a^mb^m
\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^m=\frac{a^m}{b^m}

指数関数

指数関数の性質

指数関数y=a^x
実数全体の定義域、y > 0の値域を持ち、点\left( 0,1 \right),\left( 1,a \right)を通り、x軸が漸近線
a > 1で単調増加(右肩上がり)
0 < a < 1で単調減少(右肩下がり)

指数方程式・不等式

指数方程式

a^p=a^qならばp=q

指数不等式

a > 1のときa^p > a^qならばp > q
0 < a < 1のときa^p > a^qならばp < q

対数関数

対数

対数の定義

※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
a > 0,a \ne 1M > 0のとき、
\displaystyle p=\log_a{M}a^p=M
とする。
とくに\log_a{1}=0,\log_a{a}=1

対数法則①

a > 0,a \ne 1M > 0,N > 0rが実数のとき、
\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}
\displaystyle \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}
\log_a{M^r}=r\log_a{M}

対数法則②

次の底の変換公式が成り立つ。
\displaystyle \log_a{b}=\frac{\log_c{a}}{\log_c{b}}
これより、次の二つの式が成り立つ。
\displaystyle \log_a{b}=\frac{1}{\log_a{b}}
\displaystyle \log_a{b}\log_c{d}=\log_a{d}\log_c{b}

対数関数

対数関数の性質

対数関数y=\log_a{x}
x > 0で定義され、値域は実数全体となり、点\left( 1,0 \right),\left( a,1 \right)を通り、y軸が漸近線
a > 1で単調増加(右肩上がり)
0 < a < 1で単調減少(右肩下がり)

対数方程式・不等式

対数方程式

\log_a{M}=\log_a{N}ならばM=N

対数不等式

a > 1のとき\log_a{M} > \log_a{N}ならばM > N
0 < a < 1のとき\log_a{M} > \log_a{N}ならばM < N

常用対数

あるN桁の正の数MN \leqq log_{10}{M} < N+1となる。
逆に、正の数Mに対しN \leqq log_{10}{M} < N+1となる整数Nがあって、MN桁となる。

微分

微分と導関数

微分係数の定義

※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
関数f(x)に対し、x=aにおける微分係数f'(a)を次で定義する。
\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

導関数の定義

※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
関数f(x)に対し、その導関数f'(x)を次で定義する。
\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

導関数・微分の公式①

f(x)=1のとき、その導関数f'(x)f'(x)=0すなわち\left( 1 \right)'=0
\left( af(x) \right)'=af'(x)
\left( f(x)+g(x) \right)'=f'(x)+g'(x)

導関数・微分の公式②

\left( x^n \right)'=nx^{n-1}

導関数・微分の公式③

f(x),g(x)の合成関数f(g(x))を微分すると、
\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{dg(x)}{dx}\frac{f(g(x))}{dg(x)}
\displaystyle g'(x)f'(g(x))
例えば、
f(X)=x^n,g(x)=(ax+b)のとき、f(g(x))=f(ax+b)=(ax+b)^nである。
この微分は、f'(X)=nx^{n-1},g'(x)=aであるから、
((ax+b)^n)'=an(ax+b)^{n-1}
となる。

接線

接線の方程式

曲線y=f(x)の点\left( a,f(a) \right)における接線の方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-a)

関数の増減と極大極小

関数の増減

ある区間でf'(x) > 0ならば、f(x)はその区間で単調増加
ある区間でf'(x) < 0ならば、f(x)はその区間で単調減少
ある区間でf'(x) = 0ならば、f(x)はその区間で増減しない

関数の極値・極大値・極小値

曲線y=f(x)f'(a)=0となるx=aを境にf'(x)の符号が変わるとき、関数は極値をとる。
f'(x)の符号が正から負となるとき、f(a)を極大値という。
f'(x)の符号が負から正となるとき、f(a)を極小値という。

関数の最大値・最小値

n次関数は、その定義域の両端、もしくは極値で最大値・最小値をとる。

積分

不定積分

不定積分の定義

微分してf(x)となる関数F(x)f(x)の原始関数という。
このf(x)に対して原始関数を求める事を積分すると言う。
ただし、f(x)の原始関数F(x)はその定数部分を変える事で無数に存在する。
定数部分を積分定数Cで表し、f(x)の不定積分を
\displaystyle \int f(x) dx=F(x)+C
で表す。
f(x)を被積分関数という。
公式というわけではなく、定義なので注意してください。

不定積分の公式①

xの関数f(x),g(x)と定数kに対し次の公式が成り立つ。
\displaystyle \int kf(x) dx=k\int f(x) dx
\displaystyle \int f(x)+g(x) dx=\int f(x) dx+\int g(x) dx
\displaystyle \int f(x)-g(x) dx=\int f(x) dx-\int g(x) dx

不定積分の公式②

\displaystyle \int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C

定積分

定積分の定義

f(x)の原始関数F(x)に対し、F(b)-F(a)は積分定数に関係なく1つに定まる。
この値を、f(x)aからbまでの定積分という。
\displaystyle \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)
で表す。
公式というわけではなく、定義なので注意してください。

定積分の公式①

xの関数f(x),g(x)と定数kに対し次の公式が成り立つ。
\displaystyle \int_a^b kf(x) dx=k\int_a^b f(x) dx
\displaystyle \int_a^b f(x)+g(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx
\displaystyle \int_a^b f(x)-g(x) dx=\int_a^b f(x) dx-\int_a^b g(x) dx

定積分の公式②

\displaystyle \int_a^a f(x) dx=0
\displaystyle \int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx
\displaystyle \int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx=\int_a^c f(x) dx

定積分の公式③

\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)

定積分の公式④

偶関数f(x)、奇関数g(x)に対し、
\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx=2\int_{0}^a f(x) dx
\displaystyle \int_{-a}^a g(x) dx=0

定積分と面積

定積分と面積

区間a \leqq x \leqq bにおいてf(x) \geqq 0のとき、
曲線y=f(x)x軸、x=a,x=bに囲まれる図形の面積Sは、
\displaystyle S=\int_a^b f(x) dx

曲線に囲まれた図形の面積

区間a \leqq x \leqq bにおいてf(x) \geqq g(x)のとき、
曲線y=f(x),y=g(x)x=a,x=bに囲まれる図形の面積Sは、
\displaystyle S=\int_a^b f(x)-g(x) dx

6分の1公式

\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) dx=\frac{1}{6}(b-a)^3
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