数学Ⅱの範囲の公式の一覧です。
「図書館で数学の勉強しようと思ったのに公式忘れて勉強にならない!」
という方が確認する目的に、シンプルに式だけ書いています。
いずれ理由は抜きにして使い方だけは補足するかもしれません。
目次から目的の公式に飛べます。
※ごめんなさい、執筆中で公開してしまいました。
見出し
式と証明
式の展開と因数分解
3次式
※2020/8/24に修正致しました、ご指摘ありがとうございました!
二項定理
二項
見にくい方向けに改行して見ます。
三項
の項の係数は、
整式の除法
商と余り
整式Aを整式Bで割ったときの商をQ、余りをRとすると、
で、Rの次数<Bの次数
2次方程式
複素数の等号
が実数のとき、であるとは、かつ
解の公式①
2次方程式の解は次の式であらわされる。
解の公式②
2次方程式の解は次の式であらわされる。
判別式①
2次方程式の判別式は次の式であらわされる。
判別式②
2次方程式の判別式は次の式であらわされる。
2次方程式の解の判別
2次方程式の判別式と解について
ならば異なる二つの実数解を持つ
ならば重解を持つ
ならば異なる二つの虚数解を持つ
逆も同様に、
異なる二つの実数解を持つならば
重解を持つならば
異なる二つの虚数解を持つならば
これは判別式②を使ってもOK
解と係数の関係
2次方程式の解について、
解と因数分解
2次方程式の解をとすると、
2数を解とする2次方程式
2数を解とする2次方程式の1つは、とすると、
2次方程式の2つの解の正負と判別式と係数
aが正の2次方程式の解について、
が共に正ならば、判別式が0以上、bが負、cが正
が異符号ならば、cが負
が共に負ならば、判別式が0以上、bが正、cが正
これは逆も成り立ち、
判別式が0以上、bが負、cが正ならば、が共に正
cが負ならば、が異符号
判別式が0以上、bが正、cが正ならば、が共に負
なお、aが負のときはb,cの正負が逆転する。
高次方程式
剰余の定理
整式をで割ったときの余りは
因数の定理
整式がを因数にもつならば、
これは逆も成り立ち、ならば、整式がを因数にもつ。
1の3乗根
は1の三乗根となる。
更にいずれか一方をとするととなる。
因数定理と高次方程式の因数分解
ならば、整式がを因数にもち、除算できる。
これによりの次数よりも1次低いを用いて、
と表すことができる。
恒等式
恒等式の証明
2つの整式とについて、
「がについての恒等式である」
ならば、「2つの整式とは同じ次数の項の係数が一致する。
不等式の性質
不等式の証明方法①
の証明はを示すことで証明できる。
不等式の証明方法②
実数に対し、が常に成り立つ。
不等式の証明方法③
実数に対し、が常に成り立つ。
また、ならば
不等式の証明方法④
2数に対し、ならばが成り立つ。
これは逆も同様に、ならばが成り立つ。
コーシー・シュワルツの不等式
相加平均と相乗平均の関係式
2数の相加平均を、相乗平均をと言い、2つの間に常に次の関係式が成り立つ。
統合はのとき成り立つ。
図形と方程式
2点間の距離
2点の距離は、
特に、原点との距離は、
内分点、外分点
内分点
2点をに内分する点Pは
特に中点はに内分する点で
2点をに外分する点Pは
重心
3点を頂点とするの重心Gは
直線の方程式
点と傾き
点を通り、傾きの直線は
2点を通る直線
点を通る直線は
※あるいはでも良い
ただしのときはとなる。
平行①
2直線が平行となる条件は
平行②
2直線が平行となる条件は
垂直①
2直線が垂直となる条件は
垂直②
2直線が垂直となる条件は
点と直線の距離
点と直線の距離は、
分母はの係数の二乗の和、分子は直線の式に点を代入した値の絶対値。
三角形の面積
原点と点、点が作る三角形の面積は
円
円の方程式
中心O、半径の円の方程式は
展開すると、の方程式で表すことができる。
また、特に中心が原点のときは
円と直線の交点
円と直線を連立するとの2次方程式が得られる。
2次方程式の判別式は、
ならば円と直線の共有点は2個
ならば円と直線の共有点は1個
ならば円と直線の共有点はない
であり、この逆も成り立ち、
円と直線の共有点は2個ならば
円と直線の共有点は1個ならば
円と直線の共有点はないならば
円の接線
円と点の接線は
特に中心が原点のときは、
2円の交点を通る直線
2つの円ととし、
とすると、2円の交点を通る直線は、
で得られる。
すなわち
2円の交点を通る円
2つの円ととし、
とすると、2円の交点を通る円は、
で得られる。
すなわち
軌跡と領域
直線と領域
不等式の表す領域は直線の上側
不等式の表す領域は直線の下側
等号は直線上
曲線と領域
不等式の表す領域は直線の上側
不等式の表す領域は直線の下側
等号は直線上
円と領域
不等式の表す領域は円の外部
不等式の表す領域は円の内部
等号は境界線上
三角関数
弧度法
弧度法と角
扇形の弧の長さと面積
半径、中心角の扇形の弧の長さは、
面積は
三角関数
象限と正負
三角関数 | 第1象限 | 第2象限 | 第3象限 | 第4象限 |
+ | + | – | – | |
+ | – | – | + | |
+ | – | + | – |
三角関数の相互関係
三角関数の性質
ちなみにこれらは覚えないことをお勧めします。
グラフの性質、もしくは、三角関数の加法定理を使えば間違えずに作れるようになります。
の性質
の性質
の性質
の性質
の性質
の性質
三角関数の周期
の周期は
の周期は
の周期は
の周期は
三角関数と偶関数、奇関数
が成り立つ関数を偶関数、が成り立つ関数を奇関数という。
は奇関数、は偶関数となる。
加法定理
加法定理
倍角の公式
半角の公式
3倍角の公式
和と積の公式
積を和に直す公式は、
和を積に直す公式は、
三角関数の合成
ただし、はなる
指数関数
指数法則
指数の拡張①
※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
でが整数のとき、
とする。
指数法則①
でが整数のとき、
指数法則②
累乗根に対しても指数が正の数のとき、指数法則が成り立ちます。
でが正の整数のとき、
指数の拡張②
※これも定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
でが整数のとき、
とする。
指数法則③
でが有理数のとき、
指数関数
指数関数の性質
指数関数は
実数全体の定義域、の値域を持ち、点を通り、軸が漸近線
で単調増加(右肩上がり)
で単調減少(右肩下がり)
指数方程式・不等式
指数方程式
ならば
指数不等式
のときならば
のときならば
対数関数
対数
対数の定義
※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
でのとき、
は
とする。
とくに
対数法則①
で、が実数のとき、
対数法則②
次の底の変換公式が成り立つ。
これより、次の二つの式が成り立つ。
対数関数
対数関数の性質
対数関数は
で定義され、値域は実数全体となり、点を通り、軸が漸近線
で単調増加(右肩上がり)
で単調減少(右肩下がり)
対数方程式・不等式
対数方程式
ならば
対数不等式
のときならば
のときならば
常用対数
ある桁の正の数はとなる。
逆に、正の数に対しとなる整数があって、は桁となる。
微分
微分と導関数
微分係数の定義
※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
関数に対し、における微分係数を次で定義する。
導関数の定義
※これは定理や公式ではなく定義ですので注意してください。
関数に対し、その導関数を次で定義する。
導関数・微分の公式①
のとき、その導関数はすなわち
導関数・微分の公式②
導関数・微分の公式③
の合成関数を微分すると、
例えば、
のとき、である。
この微分は、であるから、
となる。
接線
接線の方程式
曲線の点における接線の方程式は
関数の増減と極大極小
関数の増減
ある区間でならば、はその区間で単調増加
ある区間でならば、はその区間で単調減少
ある区間でならば、はその区間で増減しない
関数の極値・極大値・極小値
曲線がとなるを境にの符号が変わるとき、関数は極値をとる。
の符号が正から負となるとき、を極大値という。
の符号が負から正となるとき、を極小値という。
関数の最大値・最小値
次関数は、その定義域の両端、もしくは極値で最大値・最小値をとる。
積分
不定積分
不定積分の定義
微分してとなる関数をの原始関数という。
このに対して原始関数を求める事を積分すると言う。
ただし、の原始関数はその定数部分を変える事で無数に存在する。
定数部分を積分定数で表し、の不定積分を
で表す。
を被積分関数という。
公式というわけではなく、定義なので注意してください。
不定積分の公式①
の関数と定数に対し次の公式が成り立つ。
不定積分の公式②
定積分
定積分の定義
の原始関数に対し、は積分定数に関係なく1つに定まる。
この値を、のからまでの定積分という。
で表す。
公式というわけではなく、定義なので注意してください。
定積分の公式①
の関数と定数に対し次の公式が成り立つ。
定積分の公式②
定積分の公式③
定積分の公式④
偶関数、奇関数に対し、
定積分と面積
定積分と面積
区間においてのとき、
曲線、軸、に囲まれる図形の面積は、
曲線に囲まれた図形の面積
区間においてのとき、
曲線、に囲まれる図形の面積は、