関数の極大値と極小値と最大値と最小値の問題の解法

与えられた関数の極大値と極小値と最大値と最小値を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに
- 2.1 補足メモ

基本問題

(1) $f(x)=x^3-3x+1$ の極大値と極小値があれば求めなさい。
(2) $f(x)=x^3-3x+1$ の定義域が $\displaystyle -\frac{3}{2}\leq x < 2$ のときの最大値と最小値を求めなさい。

解き方

導関数 $f'(x)$ に $x=a$ を代入した $f'(a)$ は $x=a$ での接線の傾きを表しています。
$f'(a)=0$ となる点 $(a,f(a))$ が極大値や極小値をとる「候補」です。
「候補」というのは接線の傾きが0になっても「上（下）がるのを止め、また上（下）がる」という可能性があるからですね。

導関数を求め、導関数=0となる方程式を解いて増減表を作りましょう。
導関数=0となる点が「極大値、極小値の候補」です。
定義域の両端、極大値、極小値が、「最大値、最小値の候補」です。
稀に定義域に等号が含まれずに最大値や最小値が無い場合もありますので注意しましょう。

解説

(1) $f(x)=x^3-3x+1$ の極大値と極小値があれば求めなさい。
まず微分しましょう。
$f'(x)=3x^2-3$ ですね。

$f'(x)=0$ となる $x$ を求めます。
$3x^2-3=0$ を解いて、 $x=-1,1$ ですね。

増減表を書きます。
ポイントがあります。
自動的に埋まる場所は埋めましょう。
$f'(x)$ の「+」とか「-」とかが間違えるポイントです。
今回で言うと $f'(x)=3x^2-3$ の正負を二次不等式の考え等使って求めるわけですね。
見直しに「わかりやすい値を代入して確かめる」ということをしましょう。
「極端な値」がわかりやすいです。
今回で言うと、-1000000と、0と、1000000を代入します。
とはいえ、0以外実際代入しなくていいですよ。
$f'(x)=3x^2-3$ に-1000000を代入したら、 $3x^2$ がとてつもなく大きくなるので「+」ですね。
$f'(x)=3x^2-3$ に1000000を代入したら、 $3x^2$ がやはりとてつもなく大きくなるので「+」です。
$f'(x)=3x^2-3$ に0を代入したら、-3で、「-」ですね。

$x$	･･･	-1	･･･	1	･･･
$f'(x)=3x^2-3$	+	0	–	0	+
$f(x)=x^3-3x+1$	↗	3	↘	-1	↗

極大値は「+0-」「↗↘」の並びです。
極大値は「-0+」「↘↗」の並びです。
「+0+」「↗↗」や「-0-」「↘↘」の並びは極値を取りませんので注意してください。

という事で、極大値が $x=-1$ のとき3、極小値が $x=1$ のとき-1です。

(2) $f(x)=x^3-3x+1$ の定義域が $\displaystyle -\frac{3}{2}\leq x < 2$ のときの最大値と最小値を求めなさい。
(1)の問題と関数が同じなのでそのまま利用します。
$f'(x)=3x^2-3$ で、 $x=-1,1$ で $f'(x)=0$ になります。

増減表を書きますが、定義域が指定されていますので、両端をその定義域の値にします。

$x$	$\displaystyle -\frac{3}{2}$	･･･	-1	･･･	1	･･･	2
$f'(x)=3x^2-3$	+	+	0	–	0	+	+
$f(x)=x^3-3x+1$	$\displaystyle \frac{17}{8}$	↗	3	↘	-1	↗	3

この中から最大値と最小値を決めればいいですね。
ただ、定義域が $\displaystyle -\frac{3}{2}\leq x < 2$ なので、 $x=2$ は除いて考える必要があります。
$\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ のとき $\displaystyle \frac{17}{8}$ はとても最大値でも最小値でもないですね。
$x=-1$ のとき最大値3をとります。
$x=1$ のとき最小値-1をとります。
$x=2$ で最大値3をとることはできませんが $x--1$ で3をとることができるので注意しましょう。