微分の問題の解法

与えられた関数を微分する問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

(1) $y=x^2+2x+4$ を導関数の定義に従って微分しなさい。
(2) $y=x^3-2x^2-x+3$ を微分しなさい。
(3) $y=(2x+1)^3$ を微分しなさい。

解き方

(1)は導関数の定義を覚えていないと解けませんね。
$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
覚えにくければ
$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$
で $x+h-x$ として覚えても良いと思います。
変化の割合の式で「xの増加量をhとおいて、それを小さくするとどうなるか」という式です。
(2)(3)は微分の公式を使いましょう。
(3)は数Ⅲの知識があるとだいぶ楽できます。

解説

(1) $y=x^2+2x+4$ を導関数の定義に従って微分しなさい。
定義を使って計算を進めます。
$\displaystyle y'=\lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2+2(x+h)+4)-(x^2+2x+4)}{h}$
展開していきます。
$\displaystyle y'=\lim_{h \to 0} \frac{(x^2+2xh+h^2+2x+2h+4)-(x^2+2x+4)}{h}$
$\displaystyle y'=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2+2x+2h+4-x^2-2x-4}{h}$
同類項をまとめます。
$\displaystyle y'=\lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2+2h}{h}$
分子の項がすべて $h$ を共通因数としてもちますので、分母の $h$ で約分します。
$\displaystyle y'=\lim_{h \to 0} (2x+h+2)$
$h \to 0$ ですが $h=0$ としてよい形になりましたね。
$\displaystyle y'=2x+2$

公式を使って導いたものと同じであることも確認しておきましょう。
$y'=(x^2+2x+4)'=2x+2$

(2) $y=x^3-2x^2-x+3$ を微分しなさい。
公式で計算します。
$y'=(x^3-2x^2-x+3)'=3x^2-4x-1$

(3) $y=(2x+1)^3$ を微分しなさい。
公式で計算します。
$y'=((2x+1)^3)'=(8x^3+12x^2+6x+1)'=24x^2+24x+6$

数Ⅲで習う、次の公式を使う事で楽に計算することができます。
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

今回は $u=2x+1$ とすると $y=u^3$ ですね。
$\displaystyle \frac{d((2x+1)^3)}{dx}=\frac{d((2x+1)^3)}{du}\frac{du}{dx}=\frac{d(u^3)}{du}\frac{d(2x+1)}{dx}$
$\displaystyle =(3u^2)(2)=6u^2$
$\displaystyle =6(2x+1)^2=6(4x^2+4x+1)=24x^2+24x+6$