対数関数の最大値と最小値の問題の解法

対数関数の最大値と最小値を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

(1) $1\leq x \leq 9$ のときの関数 $f(x)=(\log_3{x})^2+2\log_9{x}$ の最大値と最小値を求めなさい。
(2) $1 \leq x ,1 \leq y,xy=4$ のときの関数 $f(x,y)=\log_2{x+y}$ の最小値を求めなさい。

解き方

方程式、不等式と置き換えを使ってきましたが、最大値と最小値の問題こそ置き換えが有効です。
最大値と最小値の問題では相加平均と相乗平均の関係が使えるときがあります。

解説

(1) $1\leq x \leq 9$ のときの関数 $f(x)=(\log_3{x})^2+2\log_9{x}$ の最大値と最小値を求めなさい。
まずは真数条件を確認しておきましょう。
$x>0$ ですね。

$\log_3{x},\log_9{x}$ と底がバラバラですのでそろえましょう。
$f(x)=(\log_3{x})^2+2\log_9{x}$
$\displaystyle f(x)=(\log_3{x})^2+2\frac{\log_3{x}}{\log_3{9}}$
$\displaystyle f(x)=(\log_3{x})^2+2\frac{\log_3{x}}{2}$
$\displaystyle f(x)=(\log_3{x})^2+\log_3{x}$

$t=\log_3{x}$ で置換しましょう。
このとき定義域を確認しておきましょう。
$1\leq x \leq 9$ でしたね。
底が1より大きいので対数をとっても大小関係は変わりませんので、 $\log_3{1} \leq \log_3{x} \leq log_3{9}$ ですね。
$0 \leq t \leq 2$ です。

$\displaystyle f(x)=(\log_3{x})^2+\log_3{x}$
$\displaystyle g(t)=t^2+t$
$\displaystyle g(t)=(t^2+t+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})$
$\displaystyle g(t)=(t^2+t+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}$
$\displaystyle g(t)=(t+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$ が軸ですね。
$g(t)$ は下に凸なグラフなので、軸で最小値を取り、最小値を取り軸から離れるにつれ大きくなります。
定義域が $0 \leq t \leq 2$ でした。
軸に一番近い点は $t=0$ 、軸に一番遠い点は $t=2$ です。
最小値は $t=0$ を代入して0、最大値は $t=2$ を代入して6です。
「？？？」なときは二次関数の最大値と最小値の問題の解法をご参照ください。

$t=\log_3{x}$ で置換していたので戻します。
$\log_3{x}=0$ のとき最小値を取り、 $\log_3{x}=2$ のとき最大値を取ります。
$x=1$ のとき最小値を取り最小値は $0$ 。
$x=9$ のとき最大値を取り最大値は $6$ 。
答えです。

(2) $1 \leq x ,1 \leq y,xy=4$ のときの関数 $f(x,y)=\log_2{x+y}$ の最小値を求めなさい。
真数条件を確認します。
$x+y>0$ です。

中々手を付けるのが難しいかもしれません。
わからないときはできる事から手を動かすのは数学の解法の王道です。
適当に代入してみましょう。
$x=1,y=4$ のとき $\log_2{5}$
$\displaystyle x=\frac{3}{2},y=\frac{8}{3}$ のとき $\displaystyle \log_2{\frac{25}{6}}$
$x=2,y=2$ のとき $\log_2{4}$
どうやら $x,y$ が等しきなるときが怪しいですね。

対数の真数は和の形だと使いにくいですね。
積の形に治ったら嬉しいですね。
和を積に･･･相加平均と相乗平均の関係が使えそうです。
相加平均と相乗平均の等号条件を思い出すと、適当に代入した結果とも合致しそうます。

$1 \leq x,1 \leq y$ より、相加平均と相乗平均の性質が使えますね。
$x+y \geq 2\sqrt{xy}$ が成り立ち、等号は $x=y$ すなわち $x=y=2$ で成り立ちます。
$x+y>0$ で1より大きい底の2の対数をとっても大小関係は変わらないので、
$f(x,y)=\log_2{x+y} \geq \log_2{2\sqrt{xy}}$
$x=y=2$ で等号が成り立ちますので代入します。
$f(x,y) \geq f(2,2)$
$f(x,y) \geq \log_2{2\sqrt{4}}$
$f(x,y) \geq \log_2{4}$
$f(x,y) \geq 2$
よって $f(x,y)$ は $x=y=2$ のとき最小値2を取ります。