二次関数の最大値と最小値の解法

二次関数の最大値と最小値に関する問題です。
平方完成や頂点と言った二次関数の基本を二次関数のグラフの問題の解法を見て理解していただいてからの方が良いかもしれません。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $y=3x^2-6x+5$ の最大値、最小値があれば求めよ
(2) $y=-x^2+2x+3$ と $y=x^2+2x+4$ の $(-2\leq x < 2)$ で最大値、最小値があれば求めよ
(3) $a > 0$ とする。 $y=x^2+4x+5$ の $(-a \leq x \leq 0)$ の最大値、最小値を求めよ

解き方

二次関数の多くの問題は頂点を知るところから始まります。
平方完成して求めます。
$y=ax^2+bx+c$ の形を、 $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形する、という事ですね。

最大値と最小値の問題もグラフの概要を描いてイメージしたほうが間違いにくいと思います。
なんでもそうですが、文字や数式だけですと中々頭に入ってきません。
自分の手でグラフを書くことで理解が深くなります。

そのうえで軸、指定された変域があればその両端の値を調べましょう。
最大値や最小値は、軸や変域の両端でとるからです。

変域に文字が入ると変域がグラフの軸を含むかどうか等で複雑になります。
そのような場合は「場合分け」をして問題を簡単にしましょう。

解説

(1) $y=3x^2-6x+5$ の最大値、最小値があれば求めよ
早速平方完成します。
$y=3x^2-6x+5$
$y=3(x^2-2x)+5$
$y=3(x^2-2x+1-1)+5$
$y=3(x^2-2x+1)-3+5$
$y=3(x-1)^2+2$

$x^2$ の係数が正なので、下に凸のグラフですが、変域がありません。
$x$ が頂点で最小値をとり、軸から離れる程 $y$ は大きくなり、変域がありませんので限りなく大きくなっていきます。
つまり、最大値は無いという事ですね。
先のとおり、最小値は頂点 $x=1,y=2$ でとり、2になります。
代入してみても $3(x-1)^2=0$ となる訳ですから、2という事を求める事ができます。

(2) $y=-x^2+2x+3$ と $y=x^2+2x+4$ の $(-2\leq x < 2)$ で最大値、最小値があれば求めよ
それぞれ平方完成します。
$y=-x^2+2x+3$
$y=-(x^2-2x)+3$
$y=-(x^2-2x+1-1)+3$
$y=-(x^2-2x+1)+1+3$
$y=-(x-1)^2+4$

$y=x^2+2x+4$
$y=(x^2+2x)+4$
$y=(x^2+2x+1-1)+4$
$y=(x^2+2x+1)-1+4$
$y=(x+1)^2+3$

今回変域が定められています。
変域の両端、軸それぞれ見ていきましょう。
二次関数は変域の両端、軸で最大値や最小値をとるからです。
二次関数は山（谷）が1つしかなく、山頂（谷底）までは増加（減少）し続け、山頂（谷底）からは減少（増加）し続けています。
はじっこか山頂（谷底）で最大値や最小値をとるはずです。

$x$	-2	･･･	-1	･･･	1	･･･	2
$-(x-1)^2+4$	-5	↙	0	↙	4	↘	3
$(x+1)^2+3$	4	↖	3	↗	7	↗	12

図が無いのを補足するために斜めの矢印は軸を中心にどう変化するか記してみました。
※数学Ⅱまで進んでいる方は数学Ⅱの増減表とは少し違いますので注意してください。

注意したいのは、 $x=2$ は変域に含まれていないという点です。
$-(x-1)^2+4$ は上に凸で軸が $x=1$ です。
軸で最大値を取り、軸から遠いほど値は小さくなります。
そして左右対称ですから、軸からより遠いほうで値が小さくなります。
変域に軸が含まれていて、 $-2$ の方が遠くなります。
最大値は $x=1$ のときで値は4です。
最小値は $x=-2$ のときで値は-5です。
なお、この場合は軸から近い $x=2$ の値は確認不要です。

$(x+1)^2+3$ は下に凸で軸が $x=-1$ です。
軸で最大値を取り、軸から遠いほど値は小さくなります。
変域に軸が含まれていて、 $2$ の方が遠くなります。
$x=2$ は変域に含まれていないので最大値を取りません。
最小値は $x=-1$ のときで値は3です。

(3) $a > 0$ とする。 $y=x^2+4x+5$ の $(-a \leq x \leq 0)$ の最大値、最小値を求めよ
平方完成します。
$y=x^2+4x+5$
$y=(x^2+4x+4-4)+5$
$y=(x^2+4x+4)-4+5$
$y=(x+2)^2+1$
軸が $x=-2$ です。
また、 $x^2$ の係数は正なので、下に凸のグラフです。

変域に文字 $a$ が含まれています。
とりあえず範囲が狭いところから始めましょう。
その方が簡単ですよね。
つまり $a$ が0に近い値のときを考えます。
$y=(x+2)^2+1$ は軸が $x=-2$ なので、 $x=0$ から $x=-2$ まではどんどん値が小さくなります。
一度この $x=-2$ までの範囲となる $0 < a < 2$ で区切りましょう。

$0 < a < 2$ のとき $y=(x+2)^2+1$ は軸よりも右側の範囲だけですね？
この変域において $x$ が小さいほど軸に近く、 $x$ が大きいほど軸から遠くなります。
つまり、 $0 < a \leq 2$ とき $y=(x+2)^2+1$ は $x=-a$ で最小値、 $x=0$ で最大値を取ります。
$x=-a$ のとき、最小値 $y=a^2-4a+5$ です。
$x=0$ のとき、最大値 $y=5$ です。

$2 \leq a$ に範囲を広げてみましょう。
$y=(x+2)^2+1$ は軸よりも左側の範囲を持つようになります。
なので、 $y=(x+2)^2+1$ は軸よりも左側に行くにつれどんどん大きい値になります。
しかし $(-a \leq x \leq 0)$ なので $x=0$ を変域に含んでいます。
$x=0$ は軸である $x=-2$ から2離れています。
例えば $x=-3$ は軸である $x=-2$ から1しか離れていません。
しばらく $x=0$ で最大値を取り続けますね？
また、このとき軸である $x=-2$ が $(-a \leq x \leq 0)$ に含まれています。
よって $x=-2$ で最小値を取ります。
これがいつまで続くのか？
$x=0$ は軸である $x=-2$ から2離れています。
$x=-4$ も軸である $x=-2$ から2離れています。
つまり $2 \leq a < 4$ のときまでこの状態が続きます。
またここまでで区切って考えます。
$x=-2$ のとき、最小値 $y=4-8+5=1$ です。
$x=0$ のとき、最大値 $y=5$ です。

$4 \leq a$ に範囲を広げてみましょう。
ここまで変域を広げると $x$ は $x=0$ よりも軸から遠い $x \leq -4$ まで勢力を拡大することになりました。
軸から最も遠いのは $x=-a$ のときですね。
$x=-2$ のとき、最小値 $y=1$ です。
$x=-a$ のとき、最大値 $y=a^2-4a+5$ です。

応用問題

$(0\leq x \leq 6)$ で $y=x^2-4ax-2$ の最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ を表しなさい

解き方

二次関数に文字が含まれている場合、最大値と最小値はその文字によって変化します。
最大値と最小値がその文字による関数と見ることができるわけですね。

解説

$(0\leq x \leq 6)$ で $y=x^2-4ax-2$ の最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ を表しなさい
見るからに長くなりそうですね。
読んでいただきありがとうございます。

まずは平方完成します。
$y=x^2-4ax-2$
$y=(x^2-4ax+4a^2)-4a^2-2$
$y=(x-2a)^2-4a^2-2$
軸が $x=2a$ になります。
つまり軸がぶれるわけです。
場合分けして簡単にしましょう。

$(0\leq x \leq 6)$ でした。
まず軸が変域に含まれるかどうかで場合分けしたほうがよさそうです。
$2a < 0,0 \leq 2a \leq 6,6 < 2a$
$a < 0,0 \leq a \leq 3,3 < a$

軸が外にあるときは割とわかりやすく、これ以上場合分けする必要もなさそうです。
軸が含まれている $0 \leq 2a \leq 6$ のときはどうでしょうか？
この状態では軸から遠い点が $x=0$ なのか $x=6$ なのか、決まらないですね。
もっと場合分けが必要になります。

ちなみに、場合分けどこでするかわからない！という場合もありますね。
「何かと何かの真ん中」とか怪しいところで区切るだけ区切って、結果が同じところは後でまたくっつければ問題ないです。
もちろん時間は掛かると思いますし、くっつくことに気が付かずにそのまま答案としてしまうと減点される可能性は多少あります。
でも何も書かずに悩んでいるよりは良いですね。

軸から遠い点が $x=0$ となる条件を考えてみましょう。
$x=0$ の軸からの距離は $2a-0=2a$ です。
$x=6$ の軸からの距離は $6-2a$ です。
$6-2a<2a$ で良さそうですね。
$2a>3$ のとき $x=0$ が軸から遠くなり、 $2a<3$ のとき $x=6$ が軸から遠くなります。
ちなみに $2a=3$ のときは $x=0,6$ が軸から等しい距離になりますね。
$2a < 0,0 \leq 2a < 3,2a=3,3 < 2a \leq 6,6 < 2a$
$\displaystyle a < 0,0 \leq a < \frac{3}{2},a=\frac{3}{2},\frac{3}{2} < a \leq 3,3 < a$

これでいずれの場合も最大値最小値がはっきり決まりそうですね。
$2a < 0$ すなわち $a < 0$ のとき
軸が変域の左側にありますから
$x=0$ で最小値 $y=-2$ をとる
$x=6$ で最大値 $y=34-24a$ をとる

$0 \leq 2a < 3$ すなわち $\displaystyle 0 \leq a < \frac{3}{2}$ のとき
軸で最小値、 $x=6$ で最大値をとります。
$x=3$ で最小値 $y=7-12a$ をとる
$x=6$ で最大値 $y=34-24a$ をとる

$2a=3$ すなわち $\displaystyle a=\frac{3}{2}$ のとき
軸で最小値、 $x=0,6$ で最大値をとります。
$x=3$ で最小値 $y=7-18=-11$ をとる
$x=0$ で最大値 $y=-2$ をとる

$3 < 2a \leq 6$ すなわち $\displaystyle \frac{3}{2} < a \leq 3$ のとき
軸で最小値、 $x=0$ で最大値をとります。
$x=3$ で最小値 $y=7-12a$ をとる
$x=0$ で最大値 $y=-2$ をとる

$6 < 2a$ すなわち $\displaystyle 3 < a$ のとき
軸が変域の右側にありますから
$x=6$ で最小値 $y=34-24a$ をとる
$x=0$ で最大値 $y=-2$ をとる

終わりに

二次関数の問題なので二次関数のグラフの性質を使います。
後は上に凸か下に凸かを考慮して、軸と変域の両端の値を確認していきましょう。
区間を含むかどうかという点には注意が必要かもしれません。
文字が入って複雑になった時は、計算しやすいように場合分けをしましょう。
二次関数の問題は良い問題が揃っていると思います。