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対数方程式の問題の解法

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対数関数の方程式の解を求める問題です。

基本問題

次の方程式の解を求めなさい。
(1)\log_2{2x}+\log_2{(x+1)}=2
(2)\log_2{(x^2+3x+2)}-\log_2{(x+1)}=1
(3)(\log_3{x})^2-3\log_3{x}+2=0

解き方

\log_a{b}=\log_a{c}という形を目指します。
対数関数は底が1より大きいとき狭義の単調増加(必ず増える)です。
\log_a{b}=\log_a{c}\rightarrow b=cになります。
対数関数は底が0から1の間のとき狭義の単調減少(必ず減る)です。
このときもやはり\log_a{b}=\log_a{c}\rightarrow b=cになります。
底をそろえることで対数を消すことができるんですね。

後は置換をする方法もあります。
t=\log_a{x}等で置き換え、tについて方程式を解きます。
t=bという方程式の解を求める事ができればb=\log_a{x}となるxを求めれば良いですね。
方程式を解く場合は解答に影響が出ることは少ないかもしれませんが、置換をするときは定義域を気にするようにしましょう。

また、対数を扱うときは\log_a{b}b>0を思い出しましょう。
真数が0以上という、真数条件というものですね。
まずはそこからです。

解説

(1)\log_2{2x}+\log_2{(x+1)}=2
まず真数が正とならなければならないので、2x>0,x+1>0を解いてx>0
後は\log_a{b}=\log_a{c}という形を目指します。

\log_2{2x}+\log_2{(x+1)}=2
\log_2{(2x(x+1))}=2\log_2{2}
\log_2{(2x^2+2x)}=\log_2{2^2}
\log_2{(2x^2+2x)}=\log_2{4}
これで対数を外せますね。
2x^2+2x=4
2x^2+2x-4=0
(2x-2)(x+2)=0
x=1,-2

ここで忘れてはならない真数の条件がありました。
x>0です。
解はx=1のみになります。

(2)\log_2{(x^2+3x+2)}-\log_2{(x+1)}=1
まず真数が正とならなければならないので、x^2+3x+2>0,x+1>0を解きます。
x^2+3x+2=(x+2)(x+1)>0\rightarrow x< -2 ,x> -1
x+1>0\rightarrow x> -1
という事で両条件を満たすためにはx>-1ですね。

後は\log_a{b}=\log_a{c}という形を目指します。

\log_2{(x^2+3x+2)}-\log_2{(x+1)}=1
\log_2{((x+2)(x+1))}-\log_2{(x+1)}=\log_2{2}
\displaystyle \log_2{\left(\frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)}\right)}=\log_2{2}
\log_2{(x+2)}=\log_2{2}
これで対数を外せますね。
x+2=2
x=0
真数の条件x>-1を満たしていますね。
解はx=0になります。

(3)(\log_3{x})^2-3\log_3{x}+2=0
まず真数が正とならなければならないので、x>0ですね。
(\log_3{x})^2がありますからt=\log_3{x}で置換しましょう。
tは実数全体を動きますね。

(\log_3{x})^2-3\log_3{x}+2=0
(t)^2-3t+2=0
(t-2)(t-1)=0
t=1,2

t=\log_3{x}で置換したので戻します。
\log_3{x}=1となるxx=3
\log_3{x}=2となるxx=9
共に真数の条件x>0を満たしていますから、答えはx=3,9ですね。

終わりに

間違えるポイントは真数の条件位ですので、真数の条件を忘れないようにしましょう
後は\log_a{b}=\log_a{c}を目指して式を変形し、b=cに直せれば対数は関係ありません。

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