動点の問題の解法

点Pや点Qが図形の線上を動き、その点が作る面積等を求める動点の問題です。

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1 一次関数の問題
2 二次関数の問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

一次関数の問題

一片が $4cm$ の正方形 $ABCD$ がある。
点 $P$ が $A$ を出発して秒速1センチメートルで $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$ の順に動く。
点 $P$ が $A$ を出発して $t$ 秒後の $\triangle{APD}$ の面積を $S$ とする。
$S$ を $t$ の式で表しなさい。

こちらは一次関数の問題の解法で紹介しています。

二次関数の問題

一片が $4cm$ の正方形 $ABCD$ がある。
点 $P$ が $A$ を出発して秒速1センチメートルで $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$ の順に動く。
点 $Q$ が $A$ を出発して秒速2センチメートルで $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$ の順に動く。
点 $P$ が $A$ を出発して $t$ 秒後の $\triangle{PQD}$ の面積を $S$ とする。
$S$ を $t$ の式で表しなさい。

解き方

一次関数のときと同じです。
ただ、式が二次関数になっただけです。
この問題は式で表すだけなので関数ですが、面積が特定の値になる場合を求める場合もあります。
これは一次関数の場合は一次方程式、二次関数の場合は二次方程式を解くことになります。

動点の問題はいかにして文字で長さ等を表すことができるかにかかっています。
知りたい情報を文字式で表す方法を考えましょう。

解説

動点の問題は点 $P,Q$ の動きに合わせて場合分けをしましょう。
場合分けは問題を簡単にしてくれます。
どのように場合分けすると良いですかね？
条件が変わる毎に場合分けした方が良いですね。
整理してみましょう。

まずは「点P,QがAB上にいるとき」ですね。
点Qが先にBにたどり着きます。
次に考えるべきは「点PがAB上、点QがBC上にいるとき」ですね。
その次は同時に点PがBに、点QがCにたどり着きますね。
よって「点PがBC上、点QがCD上にいるとき」ですね。
点Qが再び先にDにたどり着きます。
四番目は「点PがBC上、点QがDA上にいるとき」ですね。
その次は再び同時に点PがCに、点QがAにたどり着きますね。
五番目は「点PがCD上、点QがAにいるとき」ですね。
点PがDについてしまえば面積は0ですから、6通り目は明らかです。
「点PがDA上、点QがAにいるとき」での場合です。
計算が必要な5通り目までの場合分けをそれぞれ計算してみましょう。

「点P,QがAB上にいるとき」
まず $\triangle{PQD}$ は底辺 $PQ$ 高さ4の三角形になります。
$S=PQ\times 4 \div 2=2PQ$ で表すことができますね。
$PQ$ じゃ $t$ を使った式でどのように表すことができるでしょうか？

$PQ=AQ-AP$ ですね。
この、スタート地点のAからの長さで表すのがポイントです。
また、スタート地点のAに近いほうから線分を書くようにしましょう。
（A→P→Bのときは、PAと書かずにAP、BPと書かずにPBと書くというルールです）
Qが秒速2センチメートル、Pが秒速1センチメートルなので $AQ=2t,AP=t$ となります。
点P,QがAに戻ってくるまで、ずっとこの式で表すことができます。
以後特に言及しないのでこのことを覚えておいてください。
従って $PQ=2t-t=t$ です。
$S=2t$ となります。

次に変域も求めておきましょう。
$Q$ が $AB$ 上にいる $t$ の条件です。
出発してから、2秒後までですね。
つまり、 $0 \leq t \leq 2$ です。

「点PがAB上、点QがBC上にいるとき」
三角形 $\triangle{PQD}$ の面積を求める事は難しそうです。
そんな時はどうするか？
張り合わせるか、覆う面積から余分な面積を引くかでした。
貼り合わせてもできそうですが、今回は引く方針で求めてみましょう。
（PからBCに平行な線とQからABに平行な線の交点からPQDに線を引くとうまく貼り合わせることができそうですね。）
全体から $\triangle{PQD}$ 以外を引きましょう。

まず $\triangle{APD}$ は底辺が $AD=4$ 、高さが $AP$ の三角形になります。
$S_{APD}=4\times t \div 2=2t$ で表すことができますね。

次に $\triangle{DQC}$ は底辺が $DC=4$ 、高さが $QC$ の三角形になります。
$QC$ の求め方がポイントですね。
スタート地点のAからの長さで表すのがポイントでしたね。
$AB$ をパタンと $BC$ の辺に倒すと $QC=AC-AQ$ ですね。
曲がっているとわかりにくいので直線にしましょう。
$QC=8-2t$ です。
$S_{DQC}=4\times (8-2t) \div 2=2(8-2t)=16-4t$ で表すことができますね。

最後に $\triangle{PQB}$ は底辺が $PB$ 、高さが $BQ$ の三角形になります。
両方 $t$ の式で表す必要がありますね。
くどいようですが、スタート地点のAからの長さで表すのがポイントです。
$PB=AB-AP$ です。
$PB=4-t$ となります。
$BQ=AQ-AB$ です。
$BQ=2t-4$ となります。
$S_{DQC}=PB\times BQ \div 2=(4-t)(2t-4)\div 2=(4-t)(t-2)=4t-8-t^2+2t=-t^2+6t-8$ で表すことができますね。

覆っている正方形の面積から引いていきましょう。
$S=16-(2t)-(16-4t)-(-t^2+6t-8)$
$S=16-2t-16+4t+t^2-6t+8$
$S=t^2-4t+8$
になります。

次に変域ですね。
$P$ が $B$ に到着するまでの $t$ の条件です。
4秒後に $B$ に到着しますね。
つまり、 $2 \leq t \leq 4$ です。

「点PがBC上、点QがCD上にいるとき」
$\triangle{PQD}$ は底辺 $QD$ 高さ $PC$ の三角形になります。
スタート地点のAからの長さで表すことで規則的に長さを求める事ができる事に気づきましたか？。
$QD=AD-AQ=12-2t$
$PC=AC-AP=8-t$
$S=QD\times PC \div 2=(12-2t)(8-t)\div 2=(6-t)(8-t)$
$S=t^2-14t+48$

次に変域ですね。
$Q$ が $D$ に到着するまでの $t$ の条件です。
6秒後に $D$ に到着しますね。
つまり、 $4 \leq t \leq 6$ です。

「点PがBC上、点QがDA上にいるとき」
$\triangle{PQD}$ は底辺 $DQ$ 高さ4の三角形になります。
底辺 $DQ$ をスタート地点のAからの長さを使って求めましょう。
$DQ=AQ-AD=2t-12$
$S=DQ\times 4 \div 2=4(2t-12)\div 2=2(2t-12)$
$S=4t-24$

次に変域ですね。
$P$ が $C$ に到着するまでの $t$ の条件です。
8秒後に $C$ に到着しますね。
つまり、 $6 \leq t \leq 8$ です。

あと少しです。
「点PがCD上、点QがAにいるとき」
$\triangle{PQD}$ は底辺4高さ $PD$ の三角形になります。
もう考える事無く高さ $PD$ をスタート地点のAからの長さを使って求める事ができそうですね。
$PD=AD-AP=12-t$
$S=4\times PD \div 2=4(12-t)\div 2=2(12-t)$
$S=24-2t$

次に変域ですね。
$P$ が $D$ に到着するまでの $t$ の条件です。
12秒後に $C$ に到着しますね。
つまり、 $8 \leq t \leq 12$ です。

「点PがDA上、点QがAにいるとき」
これは $S=0$ でしたね。
変域は $12 \leq t \leq 16$ です。

まとめましょう。
$(0\leq t < 2)$ のとき $S=2t$
$(2\leq t < 4)$ のとき $S=t^2-4t+8$
$(4\leq t < 6$ のとき $S=t^2-14t+48$
$(6\leq t < 8$ のとき $S=4t-24$
$(8\leq t < 12$ のとき $S=24-2t$
$(12\leq t \leq 16)$ のとき $S=0$
です。

さて、確認ポイントがありましたね。
つなぎ目で面積が一致するはずです。
$t=2$ のとき、 $S=2\times 2=4,S=2^2-4\cdot 2+8=4-8+8=4$ で一致しています。
$t=4$ のとき、 $S=4^2-4\cdot 4+8=16-16+8=8,S=4^2-14\cdot 4+48=16-56+48=64-56=8$ で一致しています。
$t=6$ のとき、 $S=6^2-14\cdot 6+48=36-84+48=0,S=4\cdot 6-24=0$ で一致しています。
$t=8$ のとき、 $S=4\cdot 8-24=32-24=8,S=24-2\cdot 8=24-16=8$ で一致しています。
$t=12$ のとき、 $S=24-2\cdot 12=24-24=0,S=0$ で一致しています。
100点や高得点を目指すためには、念のため確かめておくと良いでしょう。