二次関数のグラフと三角形の面積の問題の解法

※ここでは中学数学の $y=ax^2$ を二次関数と書かせて頂きます
二次関数 $y=ax^2$ が作る三角形の面積に関する問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $y=x^2$ と $y=x+2$ の交点を $P,Q$ とする。
原点を $O(0,0)$ とするとき $\triangle{POQ}$ の面積を求めなさい。
(2) $y=x^2$ と $y=x+2$ の交点を $P,Q$ とする。
点Sを $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ の $y=x^2$ 上の点とするとき $\triangle{PSQ}$ の面積を求めなさい。

解き方

問題に書いてある事を整理して答えを導く数学の解き方の王道で解いてみましょう。

解説

(1) $\triangle{POQ}$ の面積を求めなさい。
まず交点を $P,Q$ とすると言っていますから、 $P,Q$ の座標が知りたいですね？
今回は二次関数のグラフと交点の問題の解法の基本問題のままですからその答えを使って $P(-1,1),Q(2,4)$ としましょう。

次に三角形の面積の問題なので、グラフを描いてください。
二次関数と一次関数の切片と傾きがある程度適切であれば、簡単にで良いですよ。
一次関数の切片と傾きは問題文から得られる情報ですね。
切片が $R(0,2)$ で傾きが $1$ です。
後は交点を書き込み、原点と結んで三角形を描きましょう。

ここまでで問題に書いてあることを使ったので、今わかった情報から答えを導いていきます。

さて、この三角形、底辺と高さがわかりません。
三平方の定理や垂直に交わる一次関数の傾きの性質等を使って、底辺と高さを求めるというやり方もあります。
が、大変そうなので別のやり方を考えてみましょう。
面積の求め方と言えば、覆うものから切り取る方法と、区切って足し合わせる方法がありましたね。

まず切り取る方法ですが、座標がわかっているので、覆うものも切り取るものも面積が計算できますね。
覆うものは $3\times4=12$ です。
切り取るものは $1 \times 1 \div 2 + 2 \times 4 \div 2 + 3 \times 3 \div 2=9$ です。
したがって求める面積は $3$ ですね。

次に足し合わせる方法ですが、どこで区切って足し合わせたらよいでしょうか？
ヒントは $R(0,2)$ の座標を通ることがわかっているという事です。
という事でこの切片と原点で区切ってみたくなりますね？
すると、底辺をこの線 $OR$ としてみた三角形が二つできますね。
$\triangle{ORP}$ と $\triangle{ORQ}$ です。
$\triangle{ORP}$ は底辺が $OR=2$ 高さは $x$ の差ですから $1$ で面積が $2 \times 1 \div 2=1$
$\triangle{ORQ}$ は底辺が $OR=2$ 高さは $x$ の差ですから $2$ で面積が $2 \times 2 \div 2=2$
したがって求める面積は $3$ ですね。

どちらが簡単かというと、慣れてしまえば後者です。
切る線は各頂点から対辺に $y$ 軸に平行な線で切ると求めやすいでしょう。

なお、座標と面積に関するTipsで紹介している、座標から面積を求める公式を使うことでも面積を求める事は可能です。
この問題であれば、 $P(-1,1),Q(2,4)$ ですから、
$\displaystyle S=\frac{1}{2}|-1 \times 4 - 2 \times 1|=\frac{1}{2}|-4-2|=3$
となります。
ただ、このやり方は、そもそもこの公式を使っていい場合に限ります。
問題の過程を書く必要がある場合にこの公式を習っていなければ、この公式を証明してから使わなければいけないでしょう。
また、このように公式に頼って楽してしまうと、本来の数学の考え方が身に付かず、いずれ理解する事が難しくなりますので注意してください。
見直しで正解の確認をする際に使うと良いと思います。

(2) $\triangle{PSQ}$ の面積を求めなさい。
P,Qは $P(-1,1),Q(2,4)$ でした。
Sは $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ の $y=x^2$ 上の点なので $\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ ですね。
図に書いて面積をどうやって求めるか考えてみてください。

(1)と同じように三角形を切り取りたいのですが、今回は切片RとSを結んだ線は斜めになってしまって面積を求めるのに使えないですね。
斜めだから使えないのであれば、斜めにならない線を引きしましょう。
Sから $y$ 軸に平行な直線を引き、一次関数との交点をR’とします。

R’は一次関数の式にSの $x$ 座標である $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ を代入することで求めることができます。
一次関数の式の求め方は二次関数のグラフと交点の問題の解法をご参照ください。
P,Qは $P(-1,1),Q(2,4)$ でしたので $y=x+2$ です。
$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ を代入して $\displaystyle y=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$
R’は $\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{5}{2})$ です。

(1)のとおり、区切って面積を足し合わせる方が簡単です。
底辺を $SR'$ としてみた三角形2つとして足し合わせます。
$\triangle{SR'P}$ と $\triangle{SR'Q}$ です。
$\triangle{SR'P}$ は底辺が $y$ の差ですから $\displaystyle SR'=\frac{5}{2}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ 高さは $x$ の差ですから $\displaystyle \frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$ で面積が $\displaystyle \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} \div 2=\frac{27}{16}$
$\triangle{SR'Q}$ は底辺が $\displaystyle SR'=\frac{9}{4}$ 高さは $x$ の差ですから $\displaystyle 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ で面積が $\displaystyle \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} \div 2=\frac{27}{16}$
したがって求める面積は $\displaystyle \frac{27}{16}+\frac{27}{16}=\frac{27}{8}$ ですね。

応用問題

$y=x^2$ と $y=x+2$ の交点を $P,Q$ とし、 $y$ 軸と $y=x+2$ の交点をR、原点を $O(0,0)$ とする。
OQ上の点Sが作る $\triangle{RQS}$ の面積が $\triangle{POQ}$ の面積の半分となるときのSの座標を求めなさい。
ただしSはOとQの間にあるものとする。

解き方

まず $\triangle{POQ}$ の面積を求めましょう。
$\triangle{RQS}$ の面積は基本問題(2)のような解き方で求める事ができそうです。
あるいは、 $\triangle{RQS}$ の面積は $\triangle{POQ}$ から四角形 $RPOS$ を引いた面積として計算することもできます。
四角形 $RPOS$ が $\triangle{POQ}$ の面積の半分になっていれば、 $\triangle{RQS}$ の面積も $\triangle{POQ}$ の面積の半分になりますね。

四角形RPOSの面積をSの座標を使って表し、Sの点を求めていきます。

解説

OQ上の点Sが作る $\triangle{RQS}$ の面積が $\triangle{POQ}$ の面積の半分となるときのSの座標を求めなさい。

$\triangle{POQ}$ の面積は基本問題の(1)で求めました。
3です。
$\triangle{RQS}$ の面積が $\displaystyle \frac{3}{2}$ となれば良いですね。

SはOQ上の点なのでOQを求めておきましょう。
$(0,0),(2,4)$ を通るので傾き2、切片0で $y=2x$ です。

Sから $y$ 軸に平行な直線を引き、PQとの交点をR’とします。

必ず図を書いてこれからどこを求めていくのか確認しておきましょう。

まず $\triangle{RQS}$ の面積を求めていく考え方で進めてみましょう。
$\triangle{R'SQ}$ の面積と $\triangle{R'SR}$ の面積を足せばいいですね。

Sの $x$ 座標を $x_s$ とします。
SはOQ上の点なので $y=2x$ を満たします。
これに $x_s$ を代入し、 $y=2x_s$ です。
R’はPQ上の点なので $y=x+2$ を満たします。
これに $x_s$ を代入し、 $y=x_s+2$ です。
SはOQの間の点のためR’の $y$ 座標はSの $y$ 座標よりも大きくなります。
従ってSR’の長さは $x_s+2-2x_s=2-x_s$ です。

$\triangle{R'SQ}$ の底辺をSR’とすると高さはQとSの $x$ 座標の差で $2-x_s$ になります。
面積は $\displaystyle (2-x_s)\times (2-x_s) \div 2=\frac{4-4x_s+x_s^2}{2}$ になります。

$\triangle{R'SR}$ の底辺をSR’とすると高さはSとRの $x$ 座標の差で $x_s-0=x_s$ になります。
面積は $\displaystyle (2-x_s)\times x_s \div 2=\frac{2x_s-x_s^2}{2}$ になります。

従って $\triangle{RSQ}$ 面積はそれぞれを足して、
$\displaystyle \frac{4-4x_s+x_s^2}{2}+\frac{2x_s-x_s^2}{2}=\frac{4-2x_s}{2}$
ですね。

これが $\displaystyle \frac{3}{2}$ となる方程式を作って解ければ答えですね。
$\displaystyle \frac{4-2x_s}{2}=\frac{3}{2}$
$\displaystyle 4-2x_s=3$
$\displaystyle -2x_s=-1$
$\displaystyle x_s=\frac{1}{2}$
よって、Sの座標は $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$ になります。

四角形POSRの面積を求める方法も考えてみましょう。
SはOQの間の点です。
四角形POSRは $\triangle{RPO}$ と $\triangle{RSO}$ の三角形で作られます。

$\triangle{RPO}$ の底辺をROとすると底辺はRとOの $y$ 座標の差で $2-0=2$ になります。
高さはOとPの $x$ 座標の差で $0-(-1)=1$ になります。
面積は $\displaystyle 2\times 1 \div 2=1$ になります。

$\triangle{RSO}$ の底辺をROとすると底辺は2でした。
高さはSがOQの間の点のためSとOの $x$ 座標の差で $x_s-0=x_s$ になります。
面積は $\displaystyle 2\times x_s \div 2=x_s$ になります。

従って四角形POSR面積はそれぞれを足して、
$\displaystyle 1+x_s$
ですね。

これが $\displaystyle \frac{3}{2}$ となる方程式を作って解ければ答えですね。
$\displaystyle 1+x_s=\frac{3}{2}$
$\displaystyle x_s=\frac{3}{2}-1$
$\displaystyle x_s=\frac{1}{2}$
よって、Sの座標は $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$ になります。