※記事の改善を目的に簡単なアンケートを記事の最下段に設置しています※
※わかりやすい、わかりにくい、両方の貴重なご意見を頂き、日々改善しております。※
※ご協力よろしくお願いいたします&ありがとうございます!※

二次関数と等積変形の問題の解法

二次関数の作る図形に対し平行の等積変形を使って座標を求める問題です。

基本問題

y=x^2y=-x+2の交点をP,Q、原点をO(0,0)とする。
\triangle{PQO}の面積とy=x^2上の点Rが作る\triangle{PQR}の面積が等しくなるような点Rを求めなさい。
ただしRは原点とは異なり、PとQの間にあるものとする。

解き方

面積が等しくなる点を求める問題では平行四辺形の等積変形が使えることがあります
平行な直線の式を作り、交点を求めます。

解説

\triangle{PQO}の面積とy=x^2上の点Rが作る\triangle{PQR}の面積が等しくなるような点Rを求めなさい。

まず交点を求めて図を描きましょう。
y=x^2y=-x+2ですので、
x^2=-x+2
x^2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2,1で交点をとるので交点は(-2,4),(1,1)になります。

二次関数と等積変形_1

\triangle{PQR}\triangle{PQO}と等しい面積を持ち、PQを底辺とする三角形です。
底辺を固定しているので、高さが変わらない点ですね。
RはOをPQに平行な直線上を平行移動させた点、という条件がわかります。
この平行線の等積変形を利用した解き方で進めてみましょう。

RはOをPQに平行な直線上の点になります。
PQは傾きが-1です。
切片が0です。
y=-x上の点ですね。

二次関数と等積変形_2

y=-xy=x^2の交点のうち、Oではない点が求めるRになります。

y=x^2y=-xの交点を求めます。
x^2=-x
x^2+x=0
x(x+1)=0
x=-1,0で交点をとるので交点は(-1,1),(0,0)になります。

RはOではない点なので、(-1,1)になります。

平行線の等積変形を使わずに解くことも考えてみましょう。
\triangle{PQR}の面積の式をRの座標を使って表し、面積の方程式を解きます

y=x^2上の点Rのx座標をx_rとすると、R(x_r,x_r^2)で表すことができます。

Rからy軸に平行な直線とPQの交点R’を求めます。
PQはy=-x+2なので、y=-x_r+2です。
R’Rの長さはR’とRのy座標の差になります。
-x_r+2-x_r^2ですね。

RR’を底辺とみて\triangle{RR'P},\triangle{RR'Q}の面積を求めます。
\triangle{RR'P}の高さはRとPの差なのでx_r-(-2)=x_r+2なので、面積は(-x_r+2-x_r^2)\times (x_r+2)\div 2になります。
\triangle{RR'Q}の高さはQとRの差なので1-x_rなので、面積は(-x_r+2-x_r^2)\times (1-x_r)\div 2になります。

\triangle{PQR}の面積はこれらを足して、
(-x_r+2-x_r^2)\times (x_r+2)\div 2+(-x_r+2-x_r^2)\times (1-x_r)\div 2=(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2
です。
(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2=3
の方程式の解が求めるRのx座標です。
(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2=3
-x_r+2-x_r^2=2
x_r^2+x_r=0
x_r(x_r+1)=0
x_r=-1,0になり、Rは(-1,1)になります。

終わりに

面積を求め、その面積に等しくなる放物線上の点を求める事もできます。
平行線の等積変形を利用しても解くことができます。
数学の面白いところですね。
平行線の等積変形を利用すると、特に面積を求めなくても解けますね。

関連

二次関数のグラフと交点の問題の解法
二次関数のグラフと三角形の面積の問題の解法

0

アンケートのご協力をお願いいたします

最後までお読みいただきありがとうございました。 よろしければ記事改善のためのアンケートにご協力頂けましたら幸いです。 頂いた内容をもとに近日中に記事を改善させていただきます。 ご質問は数学の問題に関する質問から頂けますとお返事させて頂きます。

記事を作成するうえでの参考にご意見いただければ幸いです。

疑問は解消されましたか?
 された されなかった

このページの記事の内容はわかりやすかったですか?
 わかりやすい わかりにくい

よろしければわかりにくい場合の理由を教えてください。
 細かすぎる、当たり前なところまで書きすぎ 粗すぎる、行間の不足、論理の飛躍 前提となる知識の記載が無い 言葉の意味が分からない 答えに至る過程の何故そう考えたかの記載が無い 難しすぎてわからない 簡単すぎる 求めていた例題と異なる

ご要望やご意見、もしくは困っている事等(任意)


内容に問題が無ければこちらにチェックをつけて送信ボタンをクリックしてください。

数学解法の目次ページ

数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 高校の範囲に限定した目次を作成しました。
高校数学の解法(目次)
数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 中学校の範囲に限定した目次を作成しました。
中学数学の解法(目次)
数学, 解法
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Evernoteに保存Evernoteに保存