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二次関数と等積変形の問題の解法

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二次関数の作る図形に対し平行の等積変形を使って座標を求める問題です。

基本問題

y=x^2y=-x+2の交点をP,Q、原点をO(0,0)とする。
\triangle{PQO}の面積とy=x^2上の点Rが作る\triangle{PQR}の面積が等しくなるような点Rを求めなさい。
ただしRは原点とは異なり、PとQの間にあるものとする。

解き方

面積が等しくなる点を求める問題では平行四辺形の等積変形が使えることがあります
平行な直線の式を作り、交点を求めます。

解説

\triangle{PQO}の面積とy=x^2上の点Rが作る\triangle{PQR}の面積が等しくなるような点Rを求めなさい。

まず交点を求めて図を描きましょう。
y=x^2y=-x+2ですので、
x^2=-x+2
x^2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2,1で交点をとるので交点は(-2,4),(1,1)になります。

二次関数と等積変形_1

\triangle{PQR}\triangle{PQO}と等しい面積を持ち、PQを底辺とする三角形です。
底辺を固定しているので、高さが変わらない点ですね。
RはOをPQに平行な直線上を平行移動させた点、という条件がわかります。
この平行線の等積変形を利用した解き方で進めてみましょう。

RはOをPQに平行な直線上の点になります。
PQは傾きが-1です。
切片が0です。
y=-x上の点ですね。

二次関数と等積変形_2

y=-xy=x^2の交点のうち、Oではない点が求めるRになります。

y=x^2y=-xの交点を求めます。
x^2=-x
x^2+x=0
x(x+1)=0
x=-1,0で交点をとるので交点は(-1,1),(0,0)になります。

RはOではない点なので、(-1,1)になります。

平行線の等積変形を使わずに解くことも考えてみましょう。
\triangle{PQR}の面積の式をRの座標を使って表し、面積の方程式を解きます

y=x^2上の点Rのx座標をx_rとすると、R(x_r,x_r^2)で表すことができます。

Rからy軸に平行な直線とPQの交点R’を求めます。
PQはy=-x+2なので、y=-x_r+2です。
R’Rの長さはR’とRのy座標の差になります。
-x_r+2-x_r^2ですね。

RR’を底辺とみて\triangle{RR'P},\triangle{RR'Q}の面積を求めます。
\triangle{RR'P}の高さはRとPの差なのでx_r-(-2)=x_r+2なので、面積は(-x_r+2-x_r^2)\times (x_r+2)\div 2になります。
\triangle{RR'Q}の高さはQとRの差なので1-x_rなので、面積は(-x_r+2-x_r^2)\times (1-x_r)\div 2になります。

\triangle{PQR}の面積はこれらを足して、
(-x_r+2-x_r^2)\times (x_r+2)\div 2+(-x_r+2-x_r^2)\times (1-x_r)\div 2=(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2
です。
(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2=3
の方程式の解が求めるRのx座標です。
(-x_r+2-x_r^2)\times (3)\div 2=3
-x_r+2-x_r^2=2
x_r^2+x_r=0
x_r(x_r+1)=0
x_r=-1,0になり、Rは(-1,1)になります。

終わりに

面積を求め、その面積に等しくなる放物線上の点を求める事もできます。
平行線の等積変形を利用しても解くことができます。
数学の面白いところですね。
平行線の等積変形を利用すると、特に面積を求めなくても解けますね。

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