二次関数のグラフと交点の解法

※ここでは中学数学の $y=ax^2$ を二次関数と書かせて頂きます
二次関数 $y=ax^2$ と一次関数の交点を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

$y=x^2$ と $y=x+2$ の交点を求めなさい。

解き方

交点と言えば連立方程式です。
二つの式の連立方程式を解きます。

解説

交点の前に、グラフの点とは何か思い出しましょう。
$y=x^2$ のグラフの点は、 $y=x^2$ を満たしています。
つまりこの2つ変数 $x,y$ をもつ方程式の解ですね。
（方程式が1つに対し変数が2つあるので）方程式の解はいくつも存在します。
$(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)$ 全部方程式の解です。

では交点とは何か？
二つの方程式の解の「共通するもの」です。
言い換えると、「交点は2つの方程式の共通解」ですね。
さて、2つの方程式の共通解って何だったか。
そうです。
連立方程式の解です。
交点は連立方程式を解けばいいんですね。

では問題です。
「 $y=x^2$ と $y=x+2$ の交点」でした。
連立方程式を解く方法は2つありました。
代入法と加減法です。
二つの方法に共通するものは「片方の文字を消すこと」でした。

という事で、片方の文字を消します。
$y$ が代入法ですぐに消えそうですね。
$x+2=x^2$
$x^2-x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
したがって、 $x=2,x=-1$ です。
後はこれらを与えられた二次関数か一次関数に代入して $y=4,1$ を求めて答えです。
つまり、 $(-1,1),(2,4)$ です。

答が出たら簡単にグラフを描いて確認してくださいね。
符号ミス等に気が付きやすくなりますから。
また、座標の答え方には注意しましょう。

応用問題

(1) $y=x^2$ と $x=-1,2$ で交点を持つ直線の式を求めなさい。
(2) $y=ax^2$ と点 $(-2,4),x=4$ で交点を持つ直線の式を求めなさい。

解き方

まず、二つの交点を求めます。
二つの交点を通る直線の式を求めます。

解説

(1) $y=x^2$ と $x=-1,2$ で交点を持つ直線の式を求めなさい。
$x=-1,2$ で交点を持つという事なので、交点を求めます。
$y=x^2$ に代入すればいいですね。

$y=(-1)^2=1$ なので、 $(-1,1)$ が交点の1つです。
$y=2^2=4$ なので、 $(2,4)$ が交点の1つです。
ちなみに(1)と同じ状況ですね。
$y=x+2$ になるのでしょう。

この2つの交点を通る直線を求めます。
直線の式は一次関数になりますので $y=ax+b$ としましょう。
そして $a,b$ を求めます。
交点の二点を通るので交点を代入した式を作ります。

$(-1,1)$ を代入して
$1=-a+b$ ･･･①
$(2,4)$ を代入して
$4=2a+b$ ･･･②
2×①+②を計算して
$2+4=-2a+2a+2b+b$
$6=3b$
$b=2$ ･･･③
③を②に代入して
$4=2a+2$
$a=1$
よって直線の式は $y=x+2$ になります。