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三角形の外接円の問題の解法

三角形の外接円の性質を使った問題の解法です。

基本問題

(1)\angle{AOC}=110^{\circ},\angle{OBC}=40^{\circ}のとき\angle{BAO}を求めなさい。
三角形と外接円の角_1

(2)(1)の図で\angle{ABC}=65^{\circ},\angle{BAC}=60^{\circ}のとき\angle{AOC}を求めなさい。

解き方

外接円の中心から各頂点に引いた線の長さは等しくなります。
二等辺三角形の性質を使うことができ、等しい角が得られます

解説

(1)\angle{AOC}=110^{\circ},\angle{OBC}=40^{\circ}のとき\angle{BAO}を求めなさい。

外接円の中心から各頂点に引いた線の長さは等しくなり、\triangle{OAC}OA=OC二等辺三角形になります。
\angle{OAC}=\angle{OCA}になり、\angle{AOC}=110であるから、
\angle{OAC}+\angle{OCA}+\angle{AOC}=180^{\circ}にそれぞれ代入して、
\angle{OCA}+\angle{OCA}+110^{\circ}=180^{\circ}
2\angle{OCA}=70^{\circ}
\angle{OAC}=\angle{OCA}=35^{\circ}

また、同様に\triangle{OBC}OB=OC二等辺三角形になります。
よって、\angle{OBC}=\angle{OCB}=40^{\circ}です。
\angle{OBC}+\angle{OCB}+\angle{BOC}=180^{\circ}にそれぞれ代入して、
40^{\circ}+40^{\circ}+\angle{BOC}=180^{\circ}
80^{\circ}+\angle{BOC}=180^{\circ}
\angle{BOC}=100^{\circ}

\angle{AOB}+\angle{BOC}+\angle{COA}=360^{\circ}にそれぞれ代入して、
\angle{AOB}+100^{\circ}+110^{\circ}=360^{\circ}
\angle{AOB}+210^{\circ}=360^{\circ}
\angle{AOB}=150^{\circ}

\triangle{AOB}もやはりOA=OB二等辺三角形になります。
よって、\angle{OBA}=\angle{BAO}です。
\angle{OBA}+\angle{BAO}+\angle{BOA}=180^{\circ}にそれぞれ代入して、
\angle{BAO}+\angle{BAO}+150^{\circ}=180^{\circ}
2\angle{BAO}=30^{\circ}
\angle{BAO}=15^{\circ}

(2)(1)の図で\angle{ABC}=65^{\circ},\angle{BAC}=60^{\circ}のとき\angle{AOC}を求めなさい。

三角形の内角が2角わかっているので残りの角を求めておきます。
\angle{ABC}=65^{\circ},\angle{BAC}=60^{\circ}\angle{ABC}+\angle{BAC}+\angle{BCA}=180^{\circ}にそれぞれ代入して、
65^{\circ}+60^{\circ}+\angle{BCA}=180^{\circ}
125^{\circ}+\angle{BCA}=180^{\circ}
\angle{BCA}=55^{\circ}

\angle{ABC}=\angle{ABO}+\angle{OBC},\angle{BAC}=\angle{BAO}+\angle{OAC},\angle{BCA}=\angle{BCO}+\angle{OCA}\angle{ABC}=65^{\circ},\angle{BAC}=60^{\circ},\angle{BCA}=55^{\circ}をそれぞれ代入して、
65^{\circ}=\angle{ABO}+\angle{OBC}・・・①
60^{\circ}=\angle{BAO}+\angle{OAC}・・・②
55^{\circ}=\angle{BCO}+\angle{OCA}・・・③

外接円の中心から各頂点に引いた線の長さは等しくなり、\triangle{OAB},\triangle{OBC},\triangle{OCA}二等辺三角形になります。
従って、\angle{OAB}=\angle{ABO},\angle{OBC}=\angle{BCO},\angle{OCA}=\angle{OAC}になります。

これを①②③に代入します。
65^{\circ}=\angle{ABO}+\angle{BCO}・・・①
60^{\circ}=\angle{ABO}+\angle{OAC}・・・②
55^{\circ}=\angle{BCO}+\angle{OAC}・・・③
この連立方程式を解ければ、3つの角がわかります。
どれでもいいですが、まず\angle{ABO}に消えていただきます。
①-②より
65^{\circ}-60^{\circ}=\angle{ABO}-\angle{ABO}+\angle{BCO}-\angle{OAC}
5^{\circ}=\angle{BCO}-\angle{OAC}・・・④
③+④で\angle{OAC}に消えていただきます。
55^{\circ}+5^{\circ}=\angle{BCO}+\angle{BCO}+\angle{OAC}-\angle{OAC}60^{\circ}=2\angle{BCO}
\angle{BCO}=30^{\circ}・・・⑤
⑤を③に代入します。
55^{\circ}=30^{\circ}+\angle{OAC}
\angle{OAC}=25^{\circ}・・・⑥
⑤を①に代入します。
65^{\circ}=\angle{ABO}+30^{\circ}
\angle{ABO}=35^{\circ}・・・⑦

\angle{OAB}=\angle{ABO}=35^{\circ},\angle{OBC}=\angle{BCO}=30^{\circ},\angle{OCA}=\angle{OAC}=25^{\circ}という事ですね。

\angle{OCA}+\angle{OAC}+\angle{AOC}=180^{\circ}にそれぞれ代入して、25^{\circ}+25^{\circ}+\angle{AOC}=180^{\circ}
50^{\circ}+\angle{AOC}=180^{\circ}
\angle{AOC}=130^{\circ}

終わりに

出題頻度があまり高くないので忘れらがちです。
外接円と聞いたら「半径が中心から各頂点までの長さになっていて等しい」「二等辺三角形」という事を思い出せると良いですね。

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