円周角の定理を使って角度を求める問題です。
基本問題
解き方
円周角の定理を使います。
- 円周上の2点と一方の弧の点が作る円周角はどれも等しい
- 円周上の2点が作る中心角は2点の中心角側に作る円周角の2倍になる
これは「同じ弧」が作る円周角であれば2点が別の点でも定理は成り立ちます。
弧BAと点Cを反時計回りに90度回転させた弧が個B’A’と点C’です。
回転させただけですからですね。
の作る円周角は等しくなるので、になります。
になります。
解説
(1)を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ACが作る中心角はACが作る円周角の2倍になります。
を代入します。
(2)を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る円周角はABが作る円周角と等しくなります。
なので、
(3)を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る中心角はABが作る円周角の2倍になります。
対頂角は等しい性質よりになります。
の内角の和はなので、
二つの式にを代入します。
・・・①
・・・②
この連立方程式を解けば求める事ができそうですね。
②-①でに消えていただきます。
よって、になります。
応用問題
円上の点ABCがAB=ACを満たしている。
BC上の点Dをとり、直線ADと円の交点をEとする。
のとき、AEの長さを求めなさい。
解き方
円周角の定理を使って相似である三角形を見つけていきます。
入試問題へのステップになる問題です。
解説
のとき、AEの長さを求めなさい。
まず条件である、AB=ACからはAB=AC=5の二等辺三角形になります。
よって、です。
円周角の定理を使うと、弧ACが作る円周角になります。
従って
とは共通する角で等しいですね。
2つの角がそれぞれ等しいのでとが相似になります。
のに対応するの辺はです。
つまりこの2つの三角形の相似比はになります。
問題よりです。
のに対応するの辺はです。
これがになるわけですから、
終わりに
円周角の定理は円の内側で考える問題でよく使われます。
同じ弧からピザが出ていた時は円周角の定理が使えます。
同じ弧を見つけることがポイントです。
補足メモ
同じ弧が別の場所にある問題を応用問題で作りたい。