※記事の改善を目的に簡単なアンケートを記事の最下段に設置しています※
※わかりやすい、わかりにくい、両方の貴重なご意見を頂き、日々改善しております。※
※ご協力よろしくお願いいたします&ありがとうございます!※

円周角の定理の問題の解法

円周角の定理を使って角度を求める問題です。

基本問題

(1)\angle{ABC}を求めなさい。
円周角の定理_1
\angle{AOC}=160^{\circ}

(2)\angle{ACB}を求めなさい。
円周角の定理_2
\angle{ADB}=40^{\circ}

(3)\angle{ACB}を求めなさい。
円周角の定理_3
\angle{CBO}=60^{\circ},\angle{OAC}=25^{\circ}

解き方

円周角の定理を使います。

  1. 円周上の2点と一方の弧の点が作る円周角はどれも等しい
  2. 円周上の2点が作る中心角は2点の中心角側に作る円周角の2倍になる

これは「同じ弧」が作る円周角であれば2点が別の点でも定理は成り立ちます。
円周角の定理_4

弧BAと点Cを反時計回りに90度回転させた弧が個B’A’と点C’です。
回転させただけですから\angle{BCA}=\angle{B'C'A'}ですね。
B'A'の作る円周角は等しくなるので、\triangle{B'C'A'}=\triangle{B'DA'}になります。
\triangle{BCA}=\triangle{B'DA'}になります。

解説

(1)\angle{ABC}を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ACが作る中心角\angle{AOC}はACが作る円周角\angle{ABC}の2倍になります
\angle{AOC}=2\angle{ABC}
\angle{AOC}=160^{\circ}を代入します。
160^{\circ}=2\angle{ABC}
\angle{ABC}=80^{\circ}

(2)\angle{ACB}を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る円周角\angle{ACB}はABが作る円周角\angle{ADB}と等しくなります
\angle{ACB}=\angle{ADB}
\angle{ADB}=40^{\circ}なので、
\angle{ACB}=40^{\circ}

(3)\angle{ACB}を求めなさい。
円周角の定理を使います。
ABが作る中心角\angle{AOB}はABが作る円周角\angle{ACB}の2倍になります
\angle{AOD}=\angle{AOB}=2\angle{ACB}=2\angle{DCB}

対頂角は等しい性質より\angle{ODA}=\angle{BDC}になります。

\triangle{DCB},\triangle{ODA}内角の和は180^{\circ}なので
\angle{DCB}+\angle{CBD}+\angle{BDC}=180^{\circ}
\angle{ODA}+\angle{DAO}+\angle{AOD}=180^{\circ}
二つの式に\angle{CBO}=60^{\circ},\angle{OAC}=25^{\circ},\angle{AOD}=2\angle{DCB}を代入します。
\angle{DCB}+60^{\circ}+\angle{BDC}=180^{\circ}・・・①
\angle{BDC}+25^{\circ}+2\angle{DCB}=180^{\circ}・・・②

この連立方程式を解けば求める事ができそうですね。
②-①で\angle{BDC}に消えていただきます。
(\angle{BDC}+25^{\circ}+2\angle{DCB})-(\angle{DCB}+60^{\circ}+\angle{BDC})=0^{\circ}-35^{\circ}+\angle{DCB}=0^{\circ}
\angle{DCB}=35^{\circ}
よって、\angle{ACB}=35^{\circ}になります。

応用問題

円上の点ABCがAB=ACを満たしている。
BC上の点Dをとり、直線ADと円の交点をEとする。
AB=5,AD=2\sqrt{5}のとき、AEの長さを求めなさい。
円周角の定理_5

解き方

円周角の定理を使って相似である三角形を見つけていきます。
入試問題へのステップになる問題です。

解説

AB=5,AD=2\sqrt{5}のとき、AEの長さを求めなさい。
円周角の定理_5

まず条件である、AB=ACから\triangle{ABC}はAB=AC=5の二等辺三角形になります。
よって、\angle{ABC}=\angle{ACB}=\angle{ACD}です。

円周角の定理を使うと、弧ACが作る円周角\angle{ABC}=\angle{AEC}になります。
従って\angle{ABC}=\angle{ACD}=\angle{AEC}
\triangle{EAC}\triangle{CAD}は共通する角で等しいですね。
2つの角がそれぞれ等しいので\triangle{AEC}\triangle{ACD}相似になります。

\triangle{AEC}ACに対応する\triangle{ACD}の辺はADです。
つまりこの2つの三角形の相似比はAC:ADになります
問題より5:2\sqrt{5}です。

\triangle{AEC}AEに対応する\triangle{ACD}の辺はACです。
これが5:2\sqrt{5}になるわけですから、
AE:AC=AE:5=5:2\sqrt{5}
2\sqrt{5}AE=25
\displaystyle AE=\frac{25}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}

終わりに

円周角の定理は円の内側で考える問題でよく使われます。
同じ弧からピザが出ていた時は円周角の定理が使えます。
同じ弧を見つけることがポイントです。

補足メモ

同じ弧が別の場所にある問題を応用問題で作りたい。

関連

円と接線の問題の解法
三角形の外接円の問題の解法
円周角の定理の問題の解法

0

アンケートのご協力をお願いいたします

最後までお読みいただきありがとうございました。 よろしければ記事改善のためのアンケートにご協力頂けましたら幸いです。 頂いた内容をもとに近日中に記事を改善させていただきます。 ご質問は数学の問題に関する質問から頂けますとお返事させて頂きます。

記事を作成するうえでの参考にご意見いただければ幸いです。

疑問は解消されましたか?
 された されなかった

このページの記事の内容はわかりやすかったですか?
 わかりやすい わかりにくい

よろしければわかりにくい場合の理由を教えてください。
 細かすぎる、当たり前なところまで書きすぎ 粗すぎる、行間の不足、論理の飛躍 前提となる知識の記載が無い 言葉の意味が分からない 答えに至る過程の何故そう考えたかの記載が無い 難しすぎてわからない 簡単すぎる 求めていた例題と異なる

ご要望やご意見、もしくは困っている事等(任意)


内容に問題が無ければこちらにチェックをつけて送信ボタンをクリックしてください。

数学解法の目次ページ

数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 高校の範囲に限定した目次を作成しました。
高校数学の解法(目次)
数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 中学校の範囲に限定した目次を作成しました。
中学数学の解法(目次)
数学, 解法
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Evernoteに保存Evernoteに保存