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指数の計算の問題の解法

指数の計算の法則を使った計算問題です。

基本問題

\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{12}

解き方

指数の計算の法則を使います。

  1. a^ma^n=a^{m+n}
  2. (a^m)^n=a^{mn}
  3. (ab)^n=a^nb^n

また、n乗根は\displaystyle \frac{1}{n}乗になります。
\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

解説

\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{12}
まず3乗根の中を素因数分解して計算しやすくします。
=\sqrt[3]{2\cdot 3}\sqrt[3]{2^2\cdot 3}
次に指数の計算法則の(ab)^n=a^nb^nを右から左に使います。
ちなみに\sqrt[n]{a}=a^{1/n}なのでこの法則が使えるわけですね。
=\sqrt[3]{(2\cdot 3)\cdot (2^2\cdot 3)}
=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^2}
\displaystyle \sqrt{2^2}=(2^2)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2としたように\displaystyle \sqrt[3]{2^3}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2^1=2とできます。
=\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]{3^2}
=2\sqrt[3]{3^2}

終わりに

指数の計算の法則を覚えるとともに、\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}であることも覚えておきましょう。

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