指数関数の問題の解法

指数関数の性質を利用した大小関係を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の数を小さい順に並べなさい。
(1) $\displaystyle 9^{\frac{1}{3}},\sqrt{3^{-1}},\frac{1}{3^{-\frac{1}{2}}},\frac{1}{3^3},-3^{\frac{1}{2}},9,1$
(2) $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},2^{\frac{1}{3}},2^{\frac{1}{4}},3^{\frac{1}{4}},3^{\frac{1}{3}},6^{\frac{1}{6}}$

解き方

指数関数の問題のポイントは底をそろえる事です。
底をそろえることが難しい場合は $0<a<b\rightarrow 0<a^n<b^n$ (n：正の数)を利用すると指数を外すことができるかもしれません。

解説

(1) $\displaystyle 9^{\frac{1}{3}},\sqrt{3^{-1}},\frac{1}{3^{-\frac{1}{2}}},\frac{1}{3^3},-3^{\frac{1}{2}},9,1$
底を3にそろえましょう。
なお、1つだけ負の数が紛れていますが、負の数は唯一なので、負の数が明らかに一番小さいですね。
負の数が2つ以上あるときは、負の数の大小は絶対値の大きさと大小が逆転しますので注意しましょう。
$\displaystyle 3^{\frac{2}{3}},3^{-\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{2}},3^{-3},-3^{\frac{1}{2}},3^2,3^0$
底が1より大きい数でそろったので、後は指数部分の小さい順に並べればいいですね。
$\displaystyle -3^{\frac{1}{2}},3^{-3},3^{-\frac{1}{2}},3^0,3^{\frac{1}{2}},3^{\frac{2}{3}},3^2$
問題の形に戻しましょう。
$\displaystyle -3^{\frac{1}{2}},\frac{1}{3^3},\sqrt{3^{-1}},1,\frac{1}{3^{-\frac{1}{2}}},9^{\frac{1}{3}},9$

(2) $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}},2^{\frac{1}{3}},2^{\frac{1}{4}},3^{\frac{1}{4}},3^{\frac{1}{3}},6^{\frac{1}{6}}$
底が単純な変形では合いませんね。
指数に消えていただきましょう。
全て指数の分母の最小公倍数である12で12乗します。
$\displaystyle 2^{\frac{12}{2}},2^{\frac{12}{3}},2^{\frac{12}{4}},3^{\frac{12}{4}},3^{\frac{12}{3}},6^{\frac{12}{6}}$
$\displaystyle 2^{6},2^{4},2^{3},3^{3},3^{4},6^{2}$
$\displaystyle 64,16,8,27,81,36$
$\displaystyle 8,16,27,36,64,81$
対応する問題の形に戻します。
$\displaystyle 2^{\frac{1}{4}},2^{\frac{1}{3}},3^{\frac{1}{4}},6^{\frac{1}{6}},2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}}$

終わりに

指数関数は底が1より大きいときに右肩上がり、1より小さい(0よりは大きい)ときに右肩下がりという事をイメージできると間違いにくくなります。
関数⇒方程式⇒不等式⇒最大値は王道の流れです。
まずは方程式や不等式を解く際に迷いがあるときは関数の性質を使った問題を繰り返し演習すると良いと思います。
これから進める場合は、関数の性質を使った問題がスラスラ解けるようになるまで演習しておけると良いですね。