加法定理の問題の解法

加法定理を使って三角比やなす角の値を求める問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに
- 2.1 補足メモ

基本問題

解き方

(1)は加法定理を使いますが、使うためには $\cos{\alpha},\cos{\beta}$ が知りたいですね。
(2)2直線のなす角は $\tan$ の加法定理を使いましょう。

解説

(1) $\displaystyle 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \leq \beta \leq \pi,\sin{\alpha}=\frac{1}{5},\sin{\beta}=\frac{1}{7}$ のとき、 $\sin{(\alpha+\beta)},\sin{(\alpha-\beta)},\cos{(\alpha+\beta)},\cos{(\alpha-\beta)}$ を求めなさい。
$\sin{(\alpha+\beta)},\sin{(\alpha-\beta)},\cos{(\alpha+\beta)},\cos{(\alpha-\beta)}$ は加法定理を使えば直ぐに答えが出そうですね。
材料となる $\sin{\alpha},\sin{\beta},\cos{\alpha},\cos{\beta}$ を集めていきましょう。
$\sin{\alpha},\sin{\beta}$ は問題からわかります。
$\cos{\alpha},\cos{\beta}$ は $\sin{\alpha},\sin{\beta}$ と所属する象限がわかればわかりますね。

では $\cos{\alpha},\cos{\beta}$ を求めていきます。
$\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$
$\displaystyle \cos^2{\alpha}=1-\left(\frac{1}{5}\right)^2$
$\displaystyle \cos^2{\alpha}=1-\frac{1}{25}$
$\displaystyle \cos^2{\alpha}=\frac{24}{25}$
$\displaystyle 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ より、 $\cos{\alpha}\geq 0$ なので
$\displaystyle \cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos^2{\beta}=1-\sin^2{\beta}$ も同様にして求めます。
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq \beta \leq \pi$ より、 $\cos{\alpha}\leq 0$ という点には注意しましょう。
$\displaystyle \cos{\beta}=-\frac{4\sqrt{3}}{7}$

では、加法定理を使って求めていきます。
$\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$
$\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{1}{5}(-\frac{4\sqrt{3}}{7})+\frac{2\sqrt{6}}{5}\frac{1}{7}$
$\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{-4\sqrt{3}}{35}+\frac{2\sqrt{6}}{35}$
$\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{35}$

$\displaystyle \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$
$\displaystyle \sin{(\alpha-\beta)}=\frac{1}{5}(-\frac{4\sqrt{3}}{7})-\frac{2\sqrt{6}}{5}\frac{1}{7}$
$\displaystyle \sin{(\alpha-\beta)}=\frac{-4\sqrt{3}}{35}-\frac{2\sqrt{6}}{35}$
$\displaystyle \sin{(\alpha-\beta)}=-\frac{2\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{35}$

$\displaystyle \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$
$\displaystyle \cos{(\alpha+\beta)}=\frac{2\sqrt{6}}{5}(-\frac{4\sqrt{3}}{7})-\frac{1}{5}\frac{1}{7}$
$\displaystyle \cos{(\alpha+\beta)}=\frac{-8\sqrt{18}}{35}-\frac{1}{35}$
$\displaystyle \cos{(\alpha+\beta)}=-\frac{1+24\sqrt{2}}{35}$

$\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
$\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\frac{2\sqrt{6}}{5}(-\frac{4\sqrt{3}}{7})+\frac{1}{5}\frac{1}{7}$
$\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\frac{-8\sqrt{18}}{35}+\frac{1}{35}$
$\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\frac{1-24\sqrt{2}}{35}$

すみません、あまりきれいな値になりませんでした。

(2) $\sqrt{3}y-x+1=0$ と $y+(2-\sqrt{3})x-1=0$ のなす角を求めなさい。
直線と $x$ 軸で作る角 $\theta$ とすると、直線の傾き $a$ は $\tan{\theta}$ で表すことができます。

$\sqrt{3}y-x+1=0$ と $x$ 軸がなす角を $\alpha$ としましょう。
$\displaystyle \tan{\alpha}=\frac{-(-1)}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$ となります。
$y+(2-\sqrt{3})x-1=0$ と $x$ 軸がなす角 $\beta$ としましょう。
$\displaystyle \tan{\beta}=\frac{-(2-\sqrt{3})}{1}=\sqrt{3}-2<0$ となります。
$\beta$ の角がわかりませんが、 $\tan{\beta}<0$ ですね。
つまり $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$ という事になります。
なす角は鋭角かどうかわかりませんが、 $\beta-\alpha$ で求める事ができますね。

そこで $\tan{\beta-\alpha}$ の出番です。
$\displaystyle \tan{\beta-\alpha}=\frac{\tan{\beta}-\tan{\alpha}}{1+\tan{\beta}\tan{\alpha}}$
$\displaystyle \tan{\beta-\alpha}=\frac{(\sqrt{3}-2)-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+(\sqrt{3}-2)\frac{1}{\sqrt{3}}}$
$\displaystyle \tan{\beta-\alpha}=\frac{3-2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}-2}$
$\displaystyle \tan{\beta-\alpha}=\frac{2-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2}$
$\displaystyle \tan{\beta-\alpha}=-1$
今度は綺麗な値になりました。
気持ちいいですね。

という事で $\displaystyle \beta-\alpha=\frac{3}{4}\pi$ という事になります。
求める鋭角は $\displaystyle \frac{1}{4}\pi$ ですね。
なす角は2つ取れるという事に注意しましょう。

ちなみに $\displaystyle \tan{\frac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$ という事にもなりまね。

終わりに

高い頻度で使っていくことになりますので間違えることは無くなると思います。
慣れるまでは符号に気をつけましょう。
また、角 $\theta$ が $\displaystyle 0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}$ なのか $\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq\theta\leq \pi$ なのかは意識しておくようにしたいですね。