三角比の関数の最大値と最小値

三角比によって与えられた関数の最大値と最小値を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

$0^{\circ}\leq {\theta}\leq 180^{\circ}$ のとき $y=\sin^2{\theta}+\cos{\theta}$ の最大値と最小値を求めなさい。

解き方

まずは $\sin{\theta},\cos{\theta}$ が混じっていると計算が進みませんのでいずれかに消えていただきましょう。
すると片方の三角比のみの二次関数の形になります。
$t=\sin{\theta}$ 等で置き換えると二次関数の問題としてみることができます。

解説

$0^{\circ}\leq {\theta}\leq 180^{\circ}$ のとき $y=\sin^2{\theta}+\cos{\theta}$ の最大値と最小値を求めなさい。
$\sin{\theta},\cos{\theta}$ が混じっていて計算が進みませんね。
いずれかに消えていただきましょう。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

いずれかに消えて頂く際に有効な武器は、
$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$
でしたね。

$y=\sin^2{\theta}+\cos{\theta}$
$y=(1-\cos^2{\theta})+\cos{\theta}$
$y=-\cos^2{\theta}+\cos{\theta}+1$

$\cos{\theta}$ が決まると $y$ が決まりますよね。
$\cos{\theta}$ は $-1\leq \cos{\theta}\leq 1$ で変化します。
$\cos{\theta}$ の最大次数は2ですから、 $\cos{\theta}$ の二次関数の形というわけです。
何度も $\cos{\theta}$ と書くのも大変ですし、少しわかりにくいですから $t=\cos{\theta}$ として変形してみましょう。
ちなみに考え方は変わりませんので、別に変形しなくても解くことはできますよ。
このとき、定義域を $\theta$ から $t$ で考えなおすことに注意してください。

$0^{\circ}\leq {\theta}\leq 180^{\circ}$ のとき $-1\leq \cos{\theta}\leq 1$
$t=\cos{\theta}$ とすると $-1 \leq t \leq 1$ が変域になります。
$y=-\cos^2{\theta}+\cos{\theta}+1$
$y=-t^2+t+1$
二次関数の最大値と最小値は平方完成したほうがわかりやすいですね。
どうやるんだっけ？というときは二次関数の最大値と最小値の問題の解法もご参照ください。
$y=-t^2+t+1$
$y=-\left(t^2-t\right)+1$
$\displaystyle y=-\left(t^2-t+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+1$
$\displaystyle y=-\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}+1$
$\displaystyle y=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}$

$t^2$ の係数が負なので上に凸で、 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$ が軸ですね。
また、軸が定義域に含まれています。
$\displaystyle t=\frac{1}{2}$ のとき最大値を取り、最大値は $\displaystyle \frac{5}{4}$
$\displaystyle t=-1$ のとき最小値を取り、最小値は $-1$
となります。

ここで忘れてはならないことがあります。
問題はもともと $\theta$ でした。
出題者は $\theta$ がいくつのとき最大最小になるか知りたいのです。
$\theta$ を使って解答を書きましょう。

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$ は $\displaystyle \cos{\theta}=\frac{1}{2}$ という事なので、 $\theta=60^{\circ}$
$\displaystyle t=-1$ は $\displaystyle \cos{\theta}=-1$ という事なので、 $\theta=180^{\circ}$

$\theta=60^{\circ}$ のとき最大値を取り、最大値は $\displaystyle \frac{5}{4}$
$\theta=180^{\circ}$ のとき最小値を取り、最小値は $-1$

仮に $t=\sin{\theta}$ と置いた方が都合の良い問題の場合、 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$ は $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{2}$ という事ですが、 $\theta=30^{\circ},150^{\circ}$ と2つある可能性を忘れないでくださいね。