三角比によって与えられた関数の最大値と最小値を求める問題です。
基本問題
のときの最大値と最小値を求めなさい。
解き方
まずはが混じっていると計算が進みませんのでいずれかに消えていただきましょう。
すると片方の三角比のみの二次関数の形になります。
等で置き換えると二次関数の問題としてみることができます。
解説
のときの最大値と最小値を求めなさい。
が混じっていて計算が進みませんね。
いずれかに消えていただきましょう。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。
いずれかに消えて頂く際に有効な武器は、
でしたね。
が決まるとが決まりますよね。
はで変化します。
の最大次数は2ですから、の二次関数の形というわけです。
何度もと書くのも大変ですし、少しわかりにくいですからとして変形してみましょう。
ちなみに考え方は変わりませんので、別に変形しなくても解くことはできますよ。
このとき、定義域をからで考えなおすことに注意してください。
のとき
とするとが変域になります。
二次関数の最大値と最小値は平方完成したほうがわかりやすいですね。
どうやるんだっけ?というときは二次関数の最大値と最小値の問題の解法もご参照ください。
の係数が負なので上に凸で、が軸ですね。
また、軸が定義域に含まれています。
のとき最大値を取り、最大値は
のとき最小値を取り、最小値は
となります。
ここで忘れてはならないことがあります。
問題はもともとでした。
出題者はがいくつのとき最大最小になるか知りたいのです。
を使って解答を書きましょう。
はという事なので、
はという事なので、
のとき最大値を取り、最大値は
のとき最小値を取り、最小値は
仮にと置いた方が都合の良い問題の場合、はという事ですが、と2つある可能性を忘れないでくださいね。
終わりに
解答までの1つ1つは基本問題です。
三角方程式、二次関数の最大値と最小値に関する演習が十分で無いと難しいかもしれません。