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三角方程式の問題の解法

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三角比に与えられた条件から、角\thetaを求めるタイプの問題です。
ちなみに図をご用意できていませんが、必ず図を描きながらイメージしてください。

基本問題

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}のとき、次の等式を満たす\thetaを求めなさい。
(1)\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}
(2)\displaystyle 2\cos{\theta}=-\sqrt{2}

よくある解き方

(1)の\sinの場合はx軸に平行な直線
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}
を引き、(2)の\cosの場合はy軸に平行な直線
\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
を引いて、単位円の交点(複数ある可能性に注意)のx軸からの角を求めるやり方がありますね。

解説

まず(1)の問題の意味を確認すると、
\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}となる\thetaは何か?」
という意味ですね。
\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}」となる\thetaを求めます。

さて、\sin{\theta}ってそもそも何だったか思い出しましょう。
AB=x,BC=y,CA=r,\angle{ABC}=90^{\circ}の直角三角形のとき、\theta=\angle{BAC}とすると、
\displaystyle \sin{\theta}=\frac{y}{r}
でした。

解き方にある\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}と単位円の交点P(p_x,p_y)を考えてみます。
まず\displaystyle p_y=\frac{\sqrt{3}}{2}は明らかですので、p_xの求め方を考えます。
Pからx軸におろした交点をQ(p_x,0)とし、\theta=\angle{POQ}(O(0,0)は原点)としましょう。
直角三角形ですから斜辺の長さは、p_x^2+p_y^2ですね。
そして単位円は半径1ですから、p_x^2+p_y^2=1となり、p_yはわかっていますから、p_xを求める事ができます。
\displaystyle p_x=\pm\frac{1}{2}となりますが、\pmを忘れないでください。

P(p_x,p_y)となるような直角三角形の角\displaystyle \thetaを求めましょう。
このとき、問題で与えられている0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}を考慮します。
数学Ⅰの段階では、角\thetaの候補は、0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ},120^{\circ},135^{\circ},150^{\circ},180^{\circ}のいずれかです。
数学Ⅱになっても、せいぜいn\pi(180^{\circ})(nは整数)ずれる程度ですね。
そのため、1:1:\sqrt{2},1:2:\sqrt{3}に該当する三角形か、三角形がつぶれてしまっているはずです。
今回は、\displaystyle x:y:r=\pm\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2で、60^{\circ},120^{\circ}ですね。

交点の座標まで求める必要はない

交点まで求める解説をさせていただきましたが、特に交点まで求めなくても\displaystyle \thetaを求める事はできます。
ポイントは1:1:\sqrt{2},1:2:\sqrt{3}に該当する三角形か、つぶれた三角形になるかという点です。
0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}のどの三角形と一致するかに着目しましょう。

解説

\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}
でしたが、斜辺が2で高さが\sqrt{3}の直角三角形をイメージします。
0^{\circ}から徐々に90^{\circ}に近づけていき、r:y=2:\sqrt{3}を探します。
\sqrt{3}1.732...ということで、縦長になりそうですね。
そうやってr:y:x=2:\sqrt{3}:160^{\circ}の三角形であると気づければ答えです。

この考え方は特に単位円を使いませんので、rを必ずしも1にしなくても良いです。
気を付けなければならないのは、60^{\circ}だけでなく、120^{\circ}も解になっている点です。

三角関数のグラフが役に立つ

数学Ⅰではまだここまでやりません。
数学Ⅱで三角関数のグラフの単元でy=\sin{x}のグラフを習います。
条件の0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}-360^{\circ} \leqq \theta \leqq 360^{\circ}のように広くなった場合はグラフも思い出すと良いです。

解説

(1)の\displaystyle \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}は見方を変えると、
\displaystyle y=\sin{\theta}\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}のグラフの交点ですね。
という事でグラフを描いて交点を探します。

条件が-360^{\circ} \leqq \theta \leqq 360^{\circ}のように広くなった場合は、解が漏れがちです。
しかしグラフを描いて条件の範囲で切ってあげると、交点を探す際に漏れや過剰になりにくいです。

ただし、解自体は上記のような従来の求め方で求める必要があります。

応用問題(混じった三角比)

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}のとき、次の等式を満たす\thetaを求めなさい。
\displaystyle 2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta}=3

解き方

\cos{\theta},\sin{\theta}が混じっていると難しいんですね。
いずれかに消えていただきます。
邪魔なものに消えて頂くのは数学の解法の王道です。

解説

2つの消し方があります。
1つは数学Ⅰの三角関係の相互関係を使います。
\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1ですね。
今回の問題ではこちらを使い、
\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}で置換します。

もう1つは数学Ⅱの加法定理等を用います。
\sin(\alpha+\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}から得られる公式があります。
また、a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sin{\theta+\alpha}の三角関数の合成の公式ですね。
これらを使う事で\cos{\theta},\sin{\theta}のいずれかに消えていただきます。

さて、問題に戻りまして\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}で置換します。
2\cos^2{\theta} +3\sin{\theta}=3
2(1-\sin^2{\theta}) +3\sin{\theta}=3
2-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}=3
-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}-1=0

基本問題は\cos{\theta},\sin{\theta}が1次の三角方程式でした。
今回は2次になっているので、二次方程式の解き方を思い出しましょう。
因数分解や解の公式を用いる事で、1次方程式の問題に帰着するか、そのまま解を求めることができましたね。

というわけで因数分解してみましょう。
-2\sin^2{\theta} +3\sin{\theta}-1=0
2\sin^2{\theta} -3\sin{\theta}+1=0
(2\sin{\theta}-1)(\sin{\theta}-1)=0
つまり、2\sin{\theta}-1=0,\sin{\theta}-1=0のいずれかであればよいわけです。
\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{2},\sin{\theta}=1を解きます。
基本問題の三角方程式の形になりましたね。
応用問題は基本問題の寄せ集めです。

応用問題(角がずれている)

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}のとき、次の等式を満たす\thetaを求めなさい。
\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}=\frac{1}{2}
※数学Ⅱで角を一般角として拡張する必要があり、数学Ⅰでは出てこないと思います。
※本当は\piを使いたいんです。

解き方

\thetaがずれているとこれもややこしくなります。
やはり邪魔なずれに消えていただきましょう
この場合は\theta' = \theta + 45^{\circ}等として置換して考える方法が良いと思います。

解説

\theta'=\theta+45^{\circ}として置換します。
条件となる0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}もずれることに注意しましょう。
0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}
0^{\circ}+45^{\circ} \leqq \theta +45^{\circ} \leqq 180^{\circ}+45^{\circ}
45^{\circ} \leqq \theta' \leqq 225^{\circ}

三角方程式の方も置換して解を求めます。
\displaystyle \sin{(\theta+45^{\circ})}=\frac{1}{2}
\displaystyle \sin{\theta'}=\frac{1}{2}
\displaystyle \theta'=30^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n,150^{\circ} \pm 360^{\circ}\times n(nは整数)

条件となる範囲に当てはまる解は、\displaystyle \theta'=150^{\circ}となり、1つだけです。
置換を元に戻して答えましょう。
\displaystyle \theta+45^{\circ}=150^{\circ}
\displaystyle \theta=105^{\circ}

終わりに

関数⇒方程式⇒不等式⇒最大値は王道の流れです。
方程式を解けなければ不等式を解くことはできません。
逆に三角方程式が解けて、基本となる不等式の考え方さえわかれば(少しだけ三角比の性質を思い出すと)三角不等式の問題も解くことができます。

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