指数関数の最大値と最小値の解法

指数関数の最大値と最小値を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の関数の最大値と最小値を求めなさい。
(1) $\displaystyle y=\left(\frac{1}{3}\right)^x + 1(-3 \leq x \leq 2)$
(2) $\displaystyle y=3^{2x+1}-2\cdot 3^x +\frac{1}{3}(-2 \leq x \leq 1)$

解き方

指数関数の底に着目し、グラフが右肩上がりなのか、右肩下がりなのか確認しましょう。
(2)は置換することによって二次関数の最大値と最小値に帰着させることのできる問題になります。

解説

(1) $\displaystyle y=\left(\frac{1}{3}\right)^x + 1(-3 \leq x \leq 2)$
底が1より小さいのでグラフは右肩下がりですね。
$x$ が大きいほど小さく、 $x$ が小さいほど大きくなります。
$x=-3$ で最大値をとり $\displaystyle y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} + 1=27+1=28$
$x=2$ で最小値をとり $\displaystyle y=\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1=\frac{1}{9} + 1=\frac{10}{9}$

(2) $\displaystyle y=3^{2x+1}-2\cdot 3^x +\frac{1}{3}(-2 \leq x \leq 1)$
$3^{2x+1}$ は $x$ が大きいほど大きくなります。
$-2\cdot 3^x$ は $x$ が大きいほど小さくなります。
単純に与えられた変域の両端で最大値と最小値をとるとは限りません。
$t=3^x$ で置換してみましょう。
$(-2 \leq x \leq 1)$ ですから、 $\displaystyle \frac{1}{9} \leq t \leq 3$

$\displaystyle y=3^{2x+1}-2\cdot 3^x + \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x + \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3t^2-2t + \frac{1}{3}$
これは $t$ の二次関数ですね。
二次関数の最大値と最小値の解法が使えます。

$\displaystyle y=3t^2-2t + \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3(t^2-\frac{2}{3}t) + \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3(t^2-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3(t^2-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9})-\frac{3}{9}+ \frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3(t-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$
$\displaystyle y=3(t-\frac{1}{3})^2$

$\displaystyle t=\frac{1}{3}$ が軸になります。
$t^2$ の係数が正なので下に凸のグラフで、軸で最小値を取り、軸から遠いほど大きくなります。
$\displaystyle t=3$ で最大値をとり $\displaystyle y=3(3)^2-2(3) + \frac{1}{3}=27-6+\frac{1}{3}=\frac{64}{3}$
$\displaystyle t=\frac{1}{3}$ で最小値をとり $\displaystyle y=0$
忘れてはいけないのは $t$ ではなく、 $x$ で答えを書く事です。
$\displaystyle x=1$ で最大値をとり $\displaystyle \frac{64}{3}$
$\displaystyle x=-1$ で最小値をとり $\displaystyle 0$