指数不等式の問題の解法

指数関数の性質を利用して不等式の解を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の不等式の解を求めなさい。
(1) $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq 3$
(2) $2\cdot 3^x+3^{2x}\leq 15$

解き方

単純な不等式であれば、グラフを思い出しましょう。
なお底は1より大きい数で考えるとわかりやすいと思います。
方程式の解き方は指数方程式の問題の解法が参考になります。
二次不等式の解き方は二次不等式の解法が参考になります。

解説

(1) $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq 3$
底をそろえた方がいいですね。
このとき、2つのそろえ方があります。
それぞれ解説していきますね。

まず3でそろえてみましょう。
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq 3$
$\displaystyle \left(3^{-1}\right)^x \leq 3^1$
$\displaystyle 3^{-x} \leq 3^1$
底が1より大きいですね。
このときグラフは右肩上がりです。
指数部分が大きければ大きいほど大きくなります。
つまり指数部分の大小関係と、指数を計算した結果の大小関係が変わらないという事です。
これが底は1より大きい数で考えたほうがわかりやすい理由です。
$\displaystyle -x \leq 1$
$\displaystyle x \geq -1$
答えです。

次に $\displaystyle \frac{1}{3}$ でそろえてみましょう。
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq 3$
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$
底が1より小さいですね。
このときグラフは右肩下がりです。
指数部分が大きければ大きいほど小さくなります。
つまり指数部分の大小関係と、指数を計算した結果の大小関係が反転するという事です。
指数の不等式に変えるときに不等号を反転させる必要があります。
$\displaystyle x \geq -1$
答えです。

なお、求めた答えが正しいか確認しておいた方が良いでしょう。
$x=0,x=-2$ あたりを使って、
$x=0$ のとき $\displaystyle 1 \leq 3$ で確かに正しい
$x=-2$ のとき $\displaystyle 9 \leq 3$ で確かに正しくない

(2) $2\cdot 3^x+3^{2x}\leq 15$
指数方程式のときと同様、 $t=3^x$ で置換します。
$2\cdot (3^x)+(3^x)^2 \leq 15$
$2t+t^2\leq 15$
二次不等式ですね。

二次不等式を解いていきます。
$t^2+2t-15\leq 0$
$(t-3)(t+5)\leq 0$
左辺の二次関数のグラフは下に凸で $t=3,-5$ で解を持っていますね。
$-5 \leq t \leq 3$
指数を置換する際に注意すべき点がありましたね。
$t=3^x$ で置換したので、 $0< t$ となります。
これらを満たす $t$ が不等式の解になります。
従って共通部分をとって $0 < t \leq 3$ が答えです。