中央値、四分位数の問題の解法

中央値や四分位数を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)次のデータの中央値を答えなさい。
135,127,155,99,198
(2)次のデータの中央値を答えなさい。
135,127,155,99,198,113
(3)次のデータの第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数を答えなさい。
135,127,155,99,198,113,126,113,78,146,101,102,127
(4)次のデータの第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数を答えなさい。
135,127,155,99,198,113,126,113,78,146,101,102,127,111

解き方

中央値、四分位数、それぞれの定義に従って、該当する値を答えます。
データの個数によって、それぞれの値の取り方が変わる点に注意しましょう。

データはランダムに並んでいると間違える可能性が高くなります。
必ず昇順、降順、いずれかに並び替えましょう。

解説

(1)次のデータの中央値を答えなさい。
135,127,155,99,198
まず昇順に並び替えます。
99,127,135,155,198
奇数個(2n+1個)のデータの中央値はその真ん中(n+1番目)となるデータが中央値になります。
よって中央値は135になります。

(2)次のデータの中央値を答えなさい。
135,127,155,99,198,113
まず昇順に並び替えます。
99,113,127,135,155,198
偶数個(2n個)のデータの中央値はちょうど真ん中になるデータが存在しません。
n番目とn+1番目のデータ平均値を中央値とします。
127と135ですね。
$\displaystyle \frac{127+135}{2}=\frac{262}{2}=131$
よって中央値は131になります。
実際に存在しないデータが中央値となることがあります。

(3)次のデータの第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数を答えなさい。
135,127,155,99,198,113,126,113,78,146,101,102,127
まず昇順に並び替えます。
78,99,101,102,113,113,126,127,127,135,146,155,198
まず第二四分位数は中央値です。
奇数個のデータなので、ちょうど真ん中の数になります。
126が第二四分位数になります。
次に第一四分位数です。
奇数個のデータの場合、第一四分位数は中央値を除いた前半の数の中央値です。
78,99,101,102,113,113
偶数個ですから、第一四分位数は101と102の平均値である101.5になります。
奇数個のデータの場合、第三四分位数は中央値を除いた後半の数の中央値です。
127,127,135,146,155,198
偶数個ですから、第三四分位数は135と146の平均値である140.5になります。

(4)次のデータの第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数を答えなさい。
135,127,155,99,198,113,126,113,78,146,101,102,127,111
まず昇順に並び替えます。
78,99,101,102,111,113,113,126,127,127,135,146,155,198
まず第二四分位数は中央値です。
偶数個のデータなので、113と126の平均値である119.5になります。
119.5が第二四分位数になります。
次に第一四分位数です。
偶数個のデータの場合、第一四分位数は前半の数の中央値です。
78,99,101,102,111,113,113
奇数個ですから、第一四分位数は102になります。
偶数個のデータの場合、第三四分位数は後半の数の中央値です。
126,127,127,135,146,155,198
奇数個ですから、第三四分位数は135になります。

応用問題

(1)次のデータに正の整数のデータxを加える。
135,127,155,99,198,113
中央値はxの値によってどのような値をとるか、求めなさい。

(2)次のデータに正の整数のデータxを加える。
135,127,155,99,198
中央値はxの値によってどのような値をとるか、求めなさい。

解き方

データを昇順、降順に並べ、xがどの区間に入るかを考えます。

解説

(1)中央値はxの値によってどのような値をとるか、求めなさい。
135,127,155,99,198,113,x
まず、xを除いた数を昇順に並べます。
99,113,127,135,155,198
ここにxを加えるとデータの個数は奇数個になります。
真ん中の値を選べばいいですが、xの値によって変化しますね。
場合分けをしましょう。

(i) $x \leq 99$ のとき
x,99,113,127,135,155,198
ですから、中央値は127です。

(ii) $100 \leq x \leq 113$ のとき
99,x,113,127,135,155,198
ですから、中央値は127です。
(i)と状況は変わりません。

(iii) $114 \leq x \leq 127$ のとき
99,113,x,127,135,155,198
ですから、中央値は127です。
(i)と状況は変わりません。

(iV) $128 \leq x \leq 135$ のとき
99,113,127,x,135,155,198
ですから、中央値はxです。
$128 \leq x \leq 135$ です。
これらすべてのデータが中央値となる可能性があるわけです。

(V) $136\leq x \leq 155$ のとき
99,113,127,135,x,155,198
ですから、中央値は135です。

(Vi) $156 \leq x \leq 198$ のとき
99,113,127,135,155,x,198
ですから、中央値は135です。
(V)と状況は変わりません。

(Vii) $199 \leq x$ のとき
99,113,127,135,155,198,x
ですから、中央値は135です。
(V)と状況は変わりません。

状況が変わる点に着目してまとめると、
$x \leq 127$ のとき、中央値は127
$128\leq x \leq 135$ のとき、中央値はx
$136\leq x$ のとき、中央値は135
です。

中央値の取り方の状況が変わるのは、127以下、127,135の間、135以上の3パターンという事になります。
解答を書く際は(i)～(iii)、(V)～(Vii)は上記の様にそれぞれをまとめてしまいましょう。

(2)中央値はxの値によってどのような値をとるか、求めなさい。
135,127,155,99,198,x
まず、xを除いた数を昇順に並べます。
99,127,135,155,198
ここにxを加えるとデータの個数は偶数個になります。
2数の平均値ですが、xの値によって変化しますね。
場合分けをしましょう。
(1)を踏まえ、xが中央値の計算を変えるのは、
(i)xが小さくて中央値が127,135で定まるとき、すなわち $x \leq 127$ のとき
(ii)xが中央値に絡み、135,xで定まるとき、すなわち $128\leq x \leq 135$ のとき
(iii)xが中央値に絡み、x,135で定まるとき、すなわち $136\leq x \leq 155$ のとき
(iV)xが大きくて中央値が135,155で定まるとき、すなわち $156\leq x$ のとき
になります。