相関係数の問題の解法

相関係数を求める問題の解法です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次のデータの相関係数を求めなさい。

x	5	7	6	4	2	9
y	7	7	3	2	4	7

解き方

定義に従って相関係数を求めます。

相関係数は1が正の相関関係で右上がり、-1が負の相関関係で右下がりになります。
これは平均値の点から水平、垂直に線を引いて、データを4つのエリアに分割するとわかりやすくなります。
平均値よりも双方の値が大きい、もしくは小さいものは、平均値との差の積が正です。
平均値よりも大きい値と小さい値のペアになっているものは、平均値との差の積が負です。

それぞれの分散を求めます。
共分散を求めます。
共分散をそれぞれの分散の積で割った値が相関係数になります。

解説

次のデータの相関係数を求めなさい。

x	5	7	6	4	2	9
y	7	7	3	2	4	7

まずそれぞれの分散を求めます。
(i)xの分散
平均値は、 $\displaystyle \frac{5+7+6+4+2+9}{6}=\frac{33}{6}=5.5$ です。
分散は、それぞれの二乗から平均値の二乗を引く方法で求めましょう。
$\displaystyle s_{x}=\frac{5^2+7^2+6^2+4^2+2^2+9^2}{6}-5.5^2=\frac{25+49+36+16+4+81}{6}-30.25$
$\displaystyle =\frac{211}{6}-30.25 \fallingdotseq 35.17-30.25=4.92$

(ii)yの分散
平均値は、 $\displaystyle \frac{7+7+3+2+4+7}{6}=\frac{30}{6}=5$ です。
分散は、それぞれの二乗の平均値から平均値の二乗を引く方法で求めましょう。
$\displaystyle s_{y}=\frac{7^2+7^2+3^2+2^2+4^2+7^2}{6}-5^2=\frac{49+49+9+4+16+49}{6}-25$
$\displaystyle =\frac{176}{6}-25 \fallingdotseq 29.33-25=4.33$

(iii)共分散
データのペアで計算を進めます。
$s_{xy}=(5-5.5)(7-5)+(7-5.5)(7-5)+(6-5.5)(3-5)+(4-5.5)(2-5)+(2-5.5)(4-5)+(9-5.5)(7-5)$
$=(-0.5)(2)+(1.5)(2)+(0.5)(-2)+(-1.5)(-3)+(-3.5)(-1)+(3.5)(2)$
$=-1+3+-1+4.5+3.5+7$
$=18-2=16$