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分散と標準偏差の問題の解法

分散と標準偏差を求める問題です。

基本問題

(1)次のデータの分散と標準偏差を求めなさい。
4,5,2,5,9
(2)次のデータの分散と標準偏差を求めなさい。
4,5,1,5,10,5
(3)(1)、(2)、平均値からのばらつきが大きいのはどちらと言えるか、答えなさい。

解き方

分散と標準偏差を定義に従って求めます。
分散は「平均値からの差の二乗の和の平均」です。
これはその意味を理解できると覚えやすいと思います。
標準偏差は分散が二乗したデータなのでルートをとって元のデータの世界に戻しています。

まず平均値を求めます。
平均値との差を二乗して和を取ります。
データの個数で割れば分散になります。

また、データを二乗した和の平均値から平均値の二乗を引くという方法もあります。
求めやすいほうを使いましょう。

解説

(1)次のデータの分散と標準偏差を求めなさい。
4,5,2,5,9
まず平均値を求めましょう。
\displaystyle \frac{4+5+2+5+9}{5}=\frac{25}{5}=5
次に各データの平均値との差の二乗の和を計算します。
\displaystyle (4-5)^2+(5-5)^2+(2-5)^2+(5-5)^2+(9-5)^2=(-1)^2+(0)^2+(-3)^2+(0)^2+(4)^2
\displaystyle =1+9+16
\displaystyle =26
データの個数で割ります。
\displaystyle 26\div 5=5.2
分散は5.2になります。
標準偏差はルートを取りますがおよそ2.3になります。

(2)次のデータの分散と標準偏差を求めなさい。
4,5,1,5,10,5
まず平均値を求めましょう。
\displaystyle \frac{4+5+1+5+10+5}{5}=\frac{30}{6}=5
次に各データの平均値との差の二乗の和を計算します。
\displaystyle (4-5)^2+(5-5)^2+(1-5)^2+(5-5)^2+(10-5)^2+(5-5)^2=(-1)^2+(0)^2+(-4)^2+(0)^2+(5)^2+(0)^2
\displaystyle =1+16+25
\displaystyle =42
データの個数で割ります。
\displaystyle 42\div 6=7
分散は7になります。
標準偏差はルートを取りますがおよそ2.6になります。

(3)(1)、(2)、平均値からのばらつきが大きいのはどちらと言えるか、答えなさい。
平均値からのばらつきを示す値が分散であり標準偏差になります
よって、(2)のデータの方がばらけていると言えます。

なお、(1)と(2)はともに平均値は5です。
(2)はその平均値のデータを加えていますが、2,9といったばらけているものを更にばらけさせています。
ばらけていればいる程、分散や標準偏差に強く影響します。
こういったばらけている値がさらにばらける影響の方が、平均的なデータを加えるよりも大きく作用する訳です。

終わりに

分散と標準偏差を求める問題は、計算量が多くなります。
正確に早く計算する必要があります。
なお、根号に直す計算は問題としては出題されないでしょう。
選択式で出題される可能性はあるので、近い値を選べるようになっておきましょう。

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