線分比と面積比の問題の解法

線分比と面積比の性質を使った問題です。
図形を書きながら読まないと理解しにくいと思います。
視覚も使って取り組んで頂けたらと思います。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $\triangle{ADC}$ と $\triangle{BDC}$ の面積比を求めなさい。

$AD=2,AB=6$

(2) $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比を求めなさい。

$AD=1,DC=8,CE=6,EB=6$

(3) $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比を求めなさい。

$AB//DE$
$CE=4,EB=2$

解き方

(1)のような問題は面積比が線分の比になります。
(2)のような問題は面積比が相似比の2乗になります。

解説

(1) $\triangle{ADC}$ と $\triangle{BDC}$ の面積比を求めなさい。
線分比を求めます。
$AD=2,AB=6$ なので、 $DB=AB-AD=6-2=4,AD:DB=2:4$ ですね。

$AB$ を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
よって $\triangle{ADC}$ と $\triangle{BDC}$ の面積比は $2:4$ になります。

(2) $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比を求めなさい。
まず $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CBA}$ が相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の基本問題(1)をご参照ください。

次に相似比を求めます。
相似で対応する辺は $CD:CB,CE:CA,DE:BA$ の三組です。
いずれかの辺の比を求めればいいですね。
例えば $CD:CB$ を求めてみましょう。
$AD=1,DC=8,CE=6,EB=6$ なので、
$CD=8$
$CB=CE+EB=6+6=12$
ですね。
相似比は $8:12=2:3$ です。

相似な図形なので、面積比は相似比の2乗になります。
よって $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比は $4:9$ になります。

(3) $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比を求めなさい。
まず相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の応用問題(2)をご参照ください。

次に相似比を求めます。
$CE=4,EB=2$ なので、 $CB=CE+EB=4+2=6$ になります。
相似比は $4:6=2:3$ です。

相似な図形なので、面積比は相似比の2乗になります。
よって $\triangle{CDE}$ と $\triangle{CAB}$ の面積比は $4:9$ になります。

応用問題

(1) $\triangle{CAB}$ と $\triangle{EAD}$ の面積比を整数比で求めなさい。

$AD:DB=2:1$
$CE:ED=1:2$

(2) $\triangle{CAE},\triangle{EAF},\triangle{EFB},\triangle{DEB}$ の面積比を整数比で求めなさい。

$CA:BD=4:3$
$AC//FE//BD$

解き方

(1)は線分比が面積比になる性質を使いますが、2回使います。
(2)は線分比が面積比になる性質と相似比が面積比になる性質を使います。
このようなに複数回の比をとるときは整数比を調整します。
それはどういうことか？
A:B=2:3
C:D=3:4
A:C=4:5
のとき、B:Dはいくつになるでしょうか？
与えられた比の式を整数倍すると、
A:B=2:3=12:18･･･①
C:D=3:4=15:20･･･②
A:C=4:5=12:15･･･③
となります。このときAは①と③の式で12、Cは②と③の式で15になっています。
①の式からAが12のとき、Bは18であり、③の式からCは15になります。
②の式からCが15のとき、Dは20になります。
AとCが③の式で繋がることで①と②が繋がって、
A:B:C:D=12:18:15:20
となります。
では、どのように①②③の整数倍した式を作ればよいでしょうか？
③の式でAとCが繋がりますから、①のAをa倍した2aと、②のCをb倍した3bが4:5になれば良いですね。
つまり、2a:3b=4:5というa,bを決める事になります。
12b=10aという式になりますが、このようなa,bは無数に存在しますので、適当に決めます。
例えばb=5,a=6です。
そうやって得られた式が①②になります。
③はAが12、Cが15になるよう、3倍しています。

解説

(1) $\triangle{CAB}$ と $\triangle{EAD}$ の面積比を整数比で求めなさい。
まず $\triangle{ACD}$ と $\triangle{CDB}$ の面積比を求めましょう。
$AB$ を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
$\triangle{ACD}$ と $\triangle{CDB}$ の面積比は $2:1$ になります。

次に $\triangle{AEC}$ と $\triangle{ADE}$ の面積比を求めましょう。
これも $CD$ を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
$\triangle{AEC}$ と $\triangle{ADE}$ の面積比は $1:2$ になります。

$\triangle{AEC}$ と $\triangle{ADE}$ の2つの三角形をあわせた $\triangle{ACD}$ は、比を合計した3が $\triangle{AEC}$ や $\triangle{ADE}$ との面積比になっています。
言い換えれば $\triangle{AEC}$ の面積を1とすると $\triangle{ADE}$ が2で、 $\triangle{ACD}$ が3ですね。
一方、 $\triangle{ACD}$ と $\triangle{CDB}$ の面積比は $2:1$ です。
$\triangle{CDB}$ の面積を1とすると $\triangle{ACD}$ の面積が2です。
前者は3、後者が2であっていません。
これが合えば、比較する事ができるようになります。

$\triangle{ACD}$ の面積比が最小公倍数の6になるように調整します。
$\triangle{ACD}$ と $\triangle{CDB}$ の面積比を $6:3$ とします。
$\triangle{AEC}$ と $\triangle{ADE}$ の面積比を $2:4$ とすれば、あわせた $\triangle{ACD}$ の面積比は6になります。
これで $\triangle{ACD}$ が同じ比の値になり、比較できるようになります。

このときの比をそれぞれ見ていきましょう。
$\triangle{CAB}$ は $\triangle{ACD}$ と $\triangle{CDB}$ の面積比 $6:3$ をあわせた9です。
$\triangle{EAD}$ は $\triangle{ADE}$ の面積比として求めた4です。

よって $\triangle{CAB}$ と $\triangle{EAD}$ の面積比は $9:4$ になります。
※ご指摘ありがとうございました！※

(2) $\triangle{CAE},\triangle{EAF},\triangle{EFB},\triangle{DEB}$ の面積比を整数比で求めなさい。
こちらのEFの長さは平行線の線分比の問題の解法基本問題(1)をご参照ください。
また、平行線が作る三角形なので相似になっています。
$\triangle{BEF}$ ∽ $\triangle{BCA}$ 、相似比は $3:7$ です。
$\triangle{AEF}$ ∽ $\triangle{ADB}$ 、相似比は $4:7$ です。
$\triangle{AEC}$ ∽ $\triangle{DEB}$ 、相似比は $4:3$ です。

面積比を求めていきます。
$\triangle{BEF}$ ∽ $\triangle{BCA}$ 、相似比は $3:7$ から見ていきましょう。
$\triangle{BEF}$ と $\triangle{BCA}$ の面積比は $9:49$ です。

$\triangle{AEF}$ ∽ $\triangle{ADB}$ 、相似比は $4:7$ でした。
$\triangle{AEF}$ と $\triangle{ADB}$ の面積比は $16:49$ です。

応用問題の(1)で比を合わせましたね。
ここでも $\triangle{BEF}$ と $\triangle{AEF}$ を $9:16$ としてはいけません。
同じように $\triangle{BCA}$ と $\triangle{ADB}$ を $49:49$ としてはいけません。
面積の比の式は、
$\triangle{BEF}:\triangle{BCA}=9:49=18:98=27:147$
というように、整数倍した式がすべて成り立ちます。
今扱っているのは「面積」でなく「面積の比の値」なので、調整前ではバラバラです。
バラバラの比の式を正しい比の式で揃える事で、比較する事ができるようになります。
詳しくは解き方に書いたとおりです。

$\triangle{BEF}$ と $\triangle{AEF}$ は $AB$ を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
最初に求めた三角形の相似の関係から、 $BF:FA$ の線分比は $3:4$ ですね。
$\triangle{BEF}:\triangle{AEF}=3:4$ という事になります。
これを使って面積を調整しましょう。

$\triangle{BEF}$ は9の倍数であると都合がいいです。
$\triangle{BEF}$ と $\triangle{BCA}$ との面積比が $9:49$ でしたので、これを整数倍して使うことができるからです。
同じように $\triangle{AEF}$ は16の倍数であると都合がいいです。
$\triangle{AEF}$ と $\triangle{ADB}$ との面積比が $16:49$ でしたので、これを整数倍して使うことができるからです。

$\triangle{BEF}:\triangle{AEF}=3:4$ でした。
$\triangle{BEF}:\triangle{AEF}=9b:16a=3:4$ となる $a,b$ の組を「適当」にを求めましょう。
文字二つに1つの関係式なので、 $a,b$ の組は無数に存在するので、その中の一つを「適当」にという意味です。
$9b:16a=3:4$
$48a=36b$
$4a=3b$
ということで、例えば $a=3,b=4$ としましょう。

$\triangle{BEF}$ を $9b=36$ で計算します。
すると $\triangle{BCA}$ との面積比が $9:49$ でしたので、 $\triangle{BCA}$ は196になります。
四角形AFECは $\triangle{BCA}$ から $\triangle{BEF}$ を引いた面積なので $196-36=160$ です。

$\triangle{AEF}$ を $16a=48$ で計算します。
すると $\triangle{ADB}$ との面積比が $16:49$ でしたので、 $\triangle{BCA}$ は147になります。
四角形BFEDは $\triangle{ADB}$ から $\triangle{AEF}$ を引いた面積なので $147-48=99$ です。

$\triangle{ACE}$ は四角形AFECから $\triangle{AEF}$ を引いた面積なので $160-48=112$ です。

$\triangle{BDE}$ は四角形BFEDから $\triangle{BEF}$ を引いた面積なので $99-36=63$ です。

$\triangle{CAE}:\triangle{EAF}:\triangle{EFB}:\triangle{DEB}=112:48:36:63$

別の解答方法もご紹介します。

高さを共有する面積比のみで解く方法です。
整数比に直した方が使いやすいので、
$\displaystyle CA:EF:DB=4:\frac{12}{7}:3=28:12:21$ で計算していきます。

平行である性質を使うとEFをAC上、DB上に移動して考えることができます。

$\triangle{CAE}=28\times 4=112$
$\triangle{EAF}=12\times 4=48$
同じように $\triangle{EFB},\triangle{DEB}$ も面積比を求めます。
$\triangle{EFB}=12\times 3=36$
$\triangle{DEB}=21\times 3=63$
$AF:FB=4:3$ を使っていますからこのままで比を調整する必要も実はありません。