線分比と面積比の性質を使った問題です。
図形を書きながら読まないと理解しにくいと思います。
視覚も使って取り組んで頂けたらと思います。
基本問題
解き方
(1)のような問題は面積比が線分の比になります。
(2)のような問題は面積比が相似比の2乗になります。
解説
(1)との面積比を求めなさい。
線分比を求めます。
なので、ですね。
を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
よってとの面積比はになります。
(2)との面積比を求めなさい。
まずとが相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の基本問題(1)をご参照ください。
次に相似比を求めます。
相似で対応する辺はの三組です。
いずれかの辺の比を求めればいいですね。
例えばを求めてみましょう。
なので、
ですね。
相似比はです。
相似な図形なので、面積比は相似比の2乗になります。
よってとの面積比はになります。
(3)との面積比を求めなさい。
まず相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の応用問題(2)をご参照ください。
次に相似比を求めます。
なので、になります。
相似比はです。
相似な図形なので、面積比は相似比の2乗になります。
よってとの面積比はになります。
応用問題
解き方
(1)は線分比が面積比になる性質を使いますが、2回使います。
(2)は線分比が面積比になる性質と相似比が面積比になる性質を使います。
このようなに複数回の比をとるときは整数比を調整します。
それはどういうことか?
A:B=2:3
C:D=3:4
A:C=4:5
のとき、B:Dはいくつになるでしょうか?
与えられた比の式を整数倍すると、
A:B=2:3=12:18・・・①
C:D=3:4=15:20・・・②
A:C=4:5=12:15・・・③
となります。このときAは①と③の式で12、Cは②と③の式で15になっています。
①の式からAが12のとき、Bは18であり、③の式からCは15になります。
②の式からCが15のとき、Dは20になります。
AとCが③の式で繋がることで①と②が繋がって、
A:B:C:D=12:18:15:20
となります。
では、どのように①②③の整数倍した式を作ればよいでしょうか?
③の式でAとCが繋がりますから、①のAをa倍した2aと、②のCをb倍した3bが4:5になれば良いですね。
つまり、2a:3b=4:5というa,bを決める事になります。
12b=10aという式になりますが、このようなa,bは無数に存在しますので、適当に決めます。
例えばb=5,a=6です。
そうやって得られた式が①②になります。
③はAが12、Cが15になるよう、3倍しています。
解説
(1)との面積比を整数比で求めなさい。
まずとの面積比を求めましょう。
を底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
との面積比はになります。
次にとの面積比を求めましょう。
これもを底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
との面積比はになります。
との2つの三角形をあわせたは、比を合計した3がやとの面積比になっています。
言い換えればの面積を1とするとが2で、が3ですね。
一方、との面積比はです。
の面積を1とするとの面積が2です。
前者は3、後者が2であっていません。
これが合えば、比較する事ができるようになります。
の面積比が最小公倍数の6になるように調整します。
との面積比をとします。
との面積比をとすれば、あわせたの面積比は6になります。
これでが同じ比の値になり、比較できるようになります。
このときの比をそれぞれ見ていきましょう。
はとの面積比をあわせた9です。
はの面積比として求めた4です。
よってとの面積比はになります。
※ご指摘ありがとうございました!※
(2)の面積比を整数比で求めなさい。
こちらのEFの長さは平行線の線分比の問題の解法基本問題(1)をご参照ください。
また、平行線が作る三角形なので相似になっています。
∽、相似比はです。
∽、相似比はです。
∽、相似比はです。
面積比を求めていきます。
∽、相似比はから見ていきましょう。
との面積比はです。
∽、相似比はでした。
との面積比はです。
応用問題の(1)で比を合わせましたね。
ここでもとをとしてはいけません。
同じようにとをとしてはいけません。
面積の比の式は、
というように、整数倍した式がすべて成り立ちます。
今扱っているのは「面積」でなく「面積の比の値」なので、調整前ではバラバラです。
バラバラの比の式を正しい比の式で揃える事で、比較する事ができるようになります。
詳しくは解き方に書いたとおりです。
とはを底辺として高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
最初に求めた三角形の相似の関係から、の線分比はですね。
という事になります。
これを使って面積を調整しましょう。
は9の倍数であると都合がいいです。
ととの面積比がでしたので、これを整数倍して使うことができるからです。
同じようには16の倍数であると都合がいいです。
ととの面積比がでしたので、これを整数倍して使うことができるからです。
でした。
となるの組を「適当」にを求めましょう。
文字二つに1つの関係式なので、の組は無数に存在するので、その中の一つを「適当」にという意味です。
ということで、例えばとしましょう。
をで計算します。
するととの面積比がでしたので、は196になります。
四角形AFECはからを引いた面積なのでです。
をで計算します。
するととの面積比がでしたので、は147になります。
四角形BFEDはからを引いた面積なのでです。
は四角形AFECからを引いた面積なのでです。
は四角形BFEDからを引いた面積なのでです。
別の解答方法もご紹介します。
高さを共有する面積比のみで解く方法です。
整数比に直した方が使いやすいので、
で計算していきます。
平行である性質を使うとEFをAC上、DB上に移動して考えることができます。
同じようにも面積比を求めます。
を使っていますからこのままで比を調整する必要も実はありません。
終わりに
面積比を求める問題は高校入試の問題としても出題されやすく、かつ難易度は高めになっている問題になります。
基本となるのは線分比です。
平行や角の性質を使って、角や長さや相似であることを求めていきます。
与えられた情報から新しい情報を導くことが基本となることは変わりません。