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線分比と面積比の問題の解法

線分比と面積比の性質を使った問題です。

基本問題

(1)\triangle{ADC}\triangle{BDC}の面積比を求めなさい。
線分比と面積比_1
AD=2,AB=6

(2)\triangle{CDE}\triangle{CAB}の面積比を求めなさい。
線分比と面積比_2
AD=1,DC=8,CE=6,EB=6

(3)\triangle{CDE}\triangle{CAB}の面積比を求めなさい。
線分比と面積比_3
AB//DE
CE=4,EB=2

解き方

(1)のような問題は面積比が線分の比になります。
(2)のような問題は面積比が相似比の2乗になります。

解説

(1)\triangle{ADC}\triangle{BDC}の面積比を求めなさい。
線分比を求めます。
AD=2,AB=6なので、DB=AB-AD=6-2=4,AD:DB=2:4ですね。

高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
よって\triangle{ADC}\triangle{BDC}の面積比は2:4になります。

(2)\triangle{CDE}\triangle{CAB}の面積比を求めなさい。
※アンケートからのご指摘ありがとうございます。2018/11/19に修正致しました。
まず\triangle{CDE}\triangle{CBA}が相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の基本問題(1)をご参照ください。

次に相似比を求めます。
相似で対応する辺はCD:CB,CE:CA,DE:BAの三組です。
いずれかの辺の比を求めればいいですね。
例えばCD:CBを求めてみましょう。
AD=1,DC=8,CE=6,EB=6なので、
CD=8
CB=CE+EB=6+6=12
ですね。
相似比は8:12=2:3です。

相似な図形なので、面積比は相似比になります。
よって\triangle{CDE}\triangle{CAB}の面積比は4:9になります。

(3)\triangle{CDE}\triangle{CAB}の面積比を求めなさい。
まず相似であることを求めます。
相似の証明は相似の問題の解法の応用問題(2)をご参照ください。

次に相似比を求めます。
CE=4,EB=2なので、CB=CE+EB=4+2=6になります。
相似比は4:6=2:3です。

相似な図形なので、面積比は相似比になります。
よって\triangle{ADC}\triangle{BDC}の面積比は4:9になります。

応用問題

(1)\triangle{CAB}\triangle{EAD}の面積比を整数比で求めなさい。
線分比と面積比_4
AD:DB=2:1
CE:ED=1:2

(2)\triangle{CAE},\triangle{EAF},\triangle{EFB},\triangle{DEB}の面積比を整数比で求めなさい。
線分比と面積比_5
CA:BD=4:3
AC//FE//BD

解き方

(1)は線分比が面積比になる性質を使いますが、2回使います。
(2)は線分比が面積比になる性質と相似比が面積比になる性質を使います。
このようなに複数回の比をとるときは整数比を調整します。

解説

(1)\triangle{CAB}\triangle{EAD}の面積比を整数比で求めなさい。
まず\triangle{ACD}\triangle{CDB}の面積比を求めましょう。
高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
\triangle{ACD}\triangle{CDB}の面積比は2:1になります。

次に\triangle{AEC}\triangle{ADE}の面積比を求めましょう。
これも高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
\triangle{AEC}\triangle{ADE}の面積比は1:2になります。

\triangle{AEC}\triangle{ADE}の2つの三角形をあわせた\triangle{ACD}は、比を合計した3が\triangle{AEC}\triangle{ADE}との面積比になっています。
\triangle{ACD}\triangle{CDB}の面積比は2:1なので比があっていません。

\triangle{ACD}の面積比が最小公倍数の6になるように調整します。
\triangle{ACD}\triangle{CDB}の面積比を6:3
\triangle{AEC}\triangle{ADE}の面積比を2:4
にすればいいですね。
このときの比をそれぞれ見ていきます。
\triangle{CAB}\triangle{ACD}\triangle{CDB}の面積比6:3をあわせた9相当です。
\triangle{EAD}\triangle{ADE}の面積比として求めた4相当です。

よって\triangle{CAB}\triangle{EAD}の面積比は9:4になります。
※ご指摘ありがとうございました!※

(2)\triangle{CAE},\triangle{EAF},\triangle{EFB},\triangle{DEB}の面積比を整数比で求めなさい。
こちらのEFの長さは平行線の線分比の問題の解法基本問題(1)をご参照ください。
また、平行線が作る三角形なので相似になっています。
\triangle{BEF}\triangle{BCA}、相似比は3:7です。
\triangle{AEF}\triangle{ADB}、相似比は4:7です。
\triangle{AEC}\triangle{DEB}、相似比は4:3です。

面積比を求めていきます。
\triangle{BEF}\triangle{BCA}、相似比は3:7から見ていきましょう。
\triangle{BEF}\triangle{BCA}の面積比は9:49です。

\triangle{AEF}\triangle{ADB}、相似比は4:7でした。
\triangle{AEF}\triangle{ADB}の面積比は16:49です。

ここで\triangle{BEF}\triangle{AEF}9:16としてはいけません。
今扱っているのは面積でなく面積の比の値なので、調整前ではバラバラですから。

\triangle{BEF}\triangle{AEF}は高さだけを共有しているので、面積比は線分比になります。
3:4ですね。
これを使って面積を調整しましょう。

\triangle{BEF}は9の倍数であると都合がいいです。
\triangle{BCA}との面積比が9:49でしたので、これを整数倍して使うことができるからです。
同じように\triangle{AEF}は16の倍数であると都合がいいです。
\triangle{ADB}との面積比が16:49でしたので、これを整数倍して使うことができるからです。
\triangle{BEF}:\triangle{AEF}=9b:16a=3:4となるa,bがうれしいという事です。
9b:16a=3:4
48a=36b
4a=3b
ということで、a=3,b=4としましょう。

\triangle{BEF}9b=36で計算します。
すると\triangle{BCA}との面積比が9:49でしたので、\triangle{BCA}は196になります。
四角形AFECは\triangle{BCA}から\triangle{BEF}を引いた面積なので196-36=160です。

\triangle{AEF}16a=48で計算します。
すると\triangle{ADB}との面積比が16:49でしたので、\triangle{BCA}は147になります。
四角形BFEDは\triangle{ADB}から\triangle{AEF}を引いた面積なので147-48=99です。

\triangle{ACE}は四角形AFECから\triangle{AEF}を引いた面積なので160-48=112です。

\triangle{BDE}は四角形BFEDから\triangle{BEF}を引いた面積なので99-36=63です。

\triangle{CAE}:\triangle{EAF}:\triangle{EFB}:\triangle{DEB}=112:48:36:63

別の解答方法もご紹介します。

高さを共有する面積比のみで解く方法です。
整数比に直した方が使いやすいので、
\displaystyle CA:EF:DB=4:\frac{12}{7}:3=28:12:21で計算していきます。

平行である性質を使うとEFをAC上、DB上に移動して考えることができます。
線分比と面積比_6

\triangle{CAE}=28\times 4=112
\triangle{EAF}=12\times 4=48
同じように\triangle{EFB},\triangle{DEB}も面積比を求めます。
\triangle{EFB}=12\times 3=36
\triangle{DEB}=21\times 3=63
AF:FB=4:3を使っていますからこのままで比を調整する必要も実はありません。

\triangle{CAE}:\triangle{EAF}:\triangle{EFB}:\triangle{DEB}=112:48:36:63

終わりに

面積比を求める問題は高校入試の問題としても出題されやすく、かつ難易度は高めになっている問題になります。
基本となるのは線分比です。
平行や角の性質を使って、角や長さや相似であることを求めていきます。
与えられた情報から新しい情報を導くことが基本となることは変わりません。

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