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相似の証明の問題の解法

相似であることを証明する問題です。

基本問題

(1)\triangle{CDE}\triangle{CBA}であることを証明しなさい。
相似_1
AD=1,DC=8,CE=6,EB=6

(2)\triangle{ACD}\triangle{CBD}であることを証明しなさい。
相似_2
CD \perp AB
\angle{ACB}=90^{\circ}

解き方

三角形の相似条件は3つありましたね。

  1. 3組の辺の比がすべて等しい
  2. 2組の辺の比とその間の角が等しい
  3. 2組の角が等しい

これらを満たすまで角や線の長さを埋めていきます。
また、線分の長さは必ずしも具体的な値を求めなくても良く、比の値さえわかれば十分です。

解説

(1)\triangle{CDE}\triangle{CBA}であることを証明しなさい。
三角形の辺の長さがそれぞれ2辺分わかっています。
「2組の辺の比とその間の角が等しい」を使って証明ができそうですね。

まず、それぞれの三角形の線分を求めましょう。
AD=1,DC=8,CE=6,EB=6からCA=CD+DA=9,CB=CE+EB=12ですね。
2組の辺の比は、
CD:CB=8:12=2:3・・・①
CE:CA=6:9=2:3・・・②
になります。

このとき、\triangle{CDE}\triangle{CBA}の式を見ながら、「1番目と2番目の文字でCDとCB」「1番目と3番目の文字でCEとCA」というように確認しながら比をとると間違いにくくなります

次に「その間の角」である\triangle{DCE},\triangle{BCA}は同じ角ですから等しくなります。
\triangle{DCE}=\triangle{BCA}・・・③
①②③より「2組の辺の比とその間の角が等しい」ので\triangle{CDE}\triangle{CBA}になります。

(2)\triangle{ACD}\triangle{CBD}であることを証明しなさい。
線分の長さの情報がありません。
こういう時は大体「2組の角が等しい」を使います。
※線分の長さや比がわからなくても「中点」「重心」「角の等分線」等の情報を使って比を求める事ができる場合もあります。

しかし、CD \perp AB\angle{ACB}=90^{\circ}という直角にまつわる情報しかないですね。
ここでわかるのは
\angle{ADC}=\angle{CDB}・・・①
のみです。
x=\angle{CAD}と文字で表して解いていきましょう。

x=\angle{CAD}とし三角形の内角の和が180^{\circ}となる性質\triangle{CAD}に使います。
\angle{CAD}+\angle{ADC}+\angle{DCA}=180^{\circ}
x+=90^{\circ}+\angle{DCA}=180^{\circ}
\angle{DCA}=90^{\circ}-x・・・②

\angle{ACB}に関する角をxを使った式で表せたのでどんどん攻めていきます。
\angle{ACB}=\angle{DCA}+\angle{DCB}なのでこれに①と\angle{ACB}=90^{\circ}を代入します。
90^{\circ}=90^{\circ}-x+\angle{DCB}
\angle{DCB}=x

x=\angle{CAD}でしたから、
\angle{DCB}=\angle{CAD}=\angle{DAC}・・・③
となりました。

①③より「2組の角が等しい」ので\triangle{ACD}\triangle{CBD}になります。

応用問題

ABの長さを求めなさい。
相似_3
AB // DE
CE=2,EB=1,DE=3

解き方

相似であることを証明し、線分比を使って値を求めましょう。

解説

みるからに相似です。
\triangle{CAB}\triangle{CDE}を証明すれば相似の比を使えます。
証明しましょう。

線分の情報がありますが、対応する線分の比を1組しか作れないですね。
そのため「2組の角が等しい」で攻めていきます。

まず共通している角なので、
\angle{ACB}=\angle{DCE}・・・①
になります。
また平行線から等しい角の情報がいくつも得られましたね。
ここでは同位角が等しい性質を使って、三角形の内側の角が等しい事を言います。
\angle{CAB}=\angle{CDE}・・・②
\angle{CBA}=\angle{CED}でもいいですよ。

①②より「2組の角が等しい」ので\triangle{CAB}\triangle{CDE}になります。

相似の三角形同士は3組の辺の比がすべて等しくなる性質」を使います。
AB:DE=CB:CE=CA:CD
となるはずですね。
CE=2,EB=1,DE=3でした。
CB=CE+EB=2+1=3となります。

AB:DE=CB:CEにそれぞれ値を代入します。
AB:3=3:2
2AB=9
\displaystyle AB=\frac{9}{2}

終わりに

三角形の相似の証明問題ですが、相似の条件を満たしていることが言えれば良いですね。
通常の証明問題より、示すべきものが決まっている分、証明は単純です。
証明問題は嫌われがちですが、本質的に今までの角度や長さを求める問題とあまり変わりません

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