相似の証明の問題の解法

相似であることを証明する問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1) $\triangle{CDE}$ ∽ $\triangle{CBA}$ であることを証明しなさい。

$AD=1,DC=8,CE=6,EB=6$

(2) $\triangle{ACD}$ ∽ $\triangle{CBD}$ であることを証明しなさい。

$CD \perp AB$
$\angle{ACB}=90^{\circ}$

解き方

三角形の相似条件は3つありましたね。

3組の辺の比がすべて等しい
2組の辺の比とその間の角が等しい
2組の角がそれぞれ等しい

これらを満たすまで角や線の長さを埋めていきます。
また、線分の長さは必ずしも具体的な値を求めなくても良く、比の値さえわかれば十分です。

解説

(1) $\triangle{CDE}$ ∽ $\triangle{CBA}$ であることを証明しなさい。
三角形の辺の長さがそれぞれ2辺分わかっています。
「2組の辺の比とその間の角が等しい」を使って証明ができそうですね。

まず、それぞれの三角形の線分を求めましょう。
$AD=1,DC=8,CE=6,EB=6$ から $CA=CD+DA=9,CB=CE+EB=12$ ですね。
2組の辺の比は、
$CD:CB=8:12=2:3$ ･･･①
$CE:CA=6:9=2:3$ ･･･②
になります。

このとき、 $\triangle{CDE}$ ∽ $\triangle{CBA}$ の式を見ながら、「1番目と2番目の文字でCDとCB」「1番目と3番目の文字でCEとCA」というように確認しながら比をとると間違いにくくなります。

次に「その間の角」である $\triangle{DCE},\triangle{BCA}$ は同じ角ですから等しくなります。
$\triangle{DCE}=\triangle{BCA}$ ･･･③
①②③より「2組の辺の比とその間の角が等しい」ので $\triangle{CDE}$ ∽ $\triangle{CBA}$ になります。

(2) $\triangle{ACD}$ ∽ $\triangle{CBD}$ であることを証明しなさい。
線分の長さの情報がありません。
こういう時は大体「2組の角がそれぞれ等しい」を使います。
※線分の長さや比がわからなくても「中点」「重心」「角の等分線」等の情報を使って比を求める事ができる場合もあります。

しかし、 $CD \perp AB$ 、 $\angle{ACB}=90^{\circ}$ という直角にまつわる情報しかないですね。
ここでわかるのは
$\angle{ADC}=\angle{CDB}$ ･･･①
のみです。
$x=\angle{CAD}$ と文字で表して解いていきましょう。

$x=\angle{CAD}$ とし三角形の内角の和が $180^{\circ}$ となる性質を $\triangle{CAD}$ に使います。
$\angle{CAD}+\angle{ADC}+\angle{DCA}=180^{\circ}$
$x+=90^{\circ}+\angle{DCA}=180^{\circ}$
$\angle{DCA}=90^{\circ}-x$ ･･･②

$\angle{ACB}$ に関する角を $x$ を使った式で表せたのでどんどん攻めていきます。
$\angle{ACB}=\angle{DCA}+\angle{DCB}$ なのでこれに①と $\angle{ACB}=90^{\circ}$ を代入します。
$90^{\circ}=90^{\circ}-x+\angle{DCB}$
$\angle{DCB}=x$

$x=\angle{CAD}$ でしたから、
$\angle{DCB}=\angle{CAD}=\angle{DAC}$ ･･･③
となりました。

①③より「2組の角がそれぞれ等しい」ので $\triangle{ACD}$ ∽ $\triangle{CBD}$ になります。

応用問題

$AB$ の長さを求めなさい。

$AB // DE$
$CE=2,EB=1,DE=3$

解き方

相似であることを証明し、線分比を使って値を求めましょう。

解説

みるからに相似です。
$\triangle{CAB}$ ∽ $\triangle{CDE}$ を証明すれば相似の比を使えます。
証明しましょう。

線分の情報がありますが、対応する線分の比を1組しか作れないですね。
そのため「2組の角がそれぞれ等しい」で攻めていきます。

まず共通している角なので、
$\angle{ACB}=\angle{DCE}$ ･･･①
になります。
また平行線から等しい角の情報がいくつも得られましたね。
ここでは同位角が等しい性質を使って、三角形の内側の角が等しい事を言います。
$\angle{CAB}=\angle{CDE}$ ･･･②
※ $\angle{CBA}=\angle{CED}$ でもいいですよ。