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平方根が整数になる問題の解法

平方根に文字が含まれていて整数になるときの文字を求めるような問題です。

基本問題

(1)\sqrt{84a}が整数となる自然数aのうち最小のaを求めなさい。
(2)\sqrt{84-3a}が整数となる自然数aをすべて求めなさい。

解き方

根号のついた数が自然数や整数となる条件は何でしょうか?
\sqrt{1}=1
\sqrt{2}=1.414...
\sqrt{3}=1.732...
\sqrt{4}=2
\sqrt{5}=2.236...
\sqrt{6}=2.449...
\sqrt{7}=2.645...
\sqrt{8}=2.828...
\sqrt{9}=3
・・・
根号の中が平方数(整数の2乗の数)になった時ですね。

ちゃんと考えてみます。

根号の中の数が、
0 < a < b
であれば、
\sqrt{a} < \sqrt{b}
になります。
中身が大きければ大きいほど大きいわけです。

ある正の整数aとそれに1を加えた数a+1
0 < a < a+1
ですから、
0 < a^2 < (a+1)^2
で、
\sqrt{a^2} < \sqrt{(a+1)^2}
になります。

ある平方数a^2とその平方数の次の平方数(a+1)^2の間の数b、つまり、
0 < a^2 < b < (a+1)^2
なるbは、
\sqrt{a^2} < \sqrt{b} < \sqrt{(a+1)^2}
ですから、
a < \sqrt{b} < a+1
\sqrt{b}aより大きく、a+1より小さい数です。
つまり整数部分がaでそれに小数がくっついた値ですね。
これは整数ではありません。
根号の中が平方数になった時に整数になり、平方数でなければ整数ではないわけですね。

根号の中が平方数になるように文字を決めていきましょう。

解説

(1)\sqrt{84a}が整数となる自然数aのうち最小のaを求めなさい。
84aという数が平方数になる条件を考えてみましょう。

84という数がどのような数か知りたいですね。
素因数分解します
84=2\cdot 42=2^2\cdot 21=2^2\cdot 3 \cdot 7
84aが平方数になるためには、それぞれの2,3,7が平方数にならないといけないですね。
また、「最小の」と言っていますから、それ以外の数が平方数として出てきてほしくないですね
84a=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2が求めるaの条件でしょう。
両辺84で割って、a=3\cdot 7=21が答えです。

(2)\sqrt{84-3a}が整数となる自然数aをすべて求めなさい。
84-3a< 84ですね。
84-3aが平方数であるとすれば、84より小さい平方数ですね。
これは1,4,9,16,25,36,49,64,81がありますね。

84-3a=3(28-a)ですね。
3の倍数になりますが、もっと言うと81までの3の倍数をすべて取りますね。
よって、先の平方数のうち3の倍数となる9,36,81となるaが答えです。
つまりa=1,16,25が答えです。

終わりに

平方根の問題は高校入試問題において四則演算の計算問題で出題されることが多いです。
その他ですと、このタイプの平方数を見つける問題か、平方根の整数部分と小数部分の問題の解法を使った問題が多いです。
図形の問題で三平方の定理あたりと組み合わせられることもあるかもしれませんね。

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