平方根が整数になる解法

平方根に文字が含まれていて整数になるときの文字を求めるような問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

(1) $\sqrt{84a}$ が整数となる自然数 $a$ のうち最小の $a$ を求めなさい。
(2) $\sqrt{84-3a}$ が整数となる自然数 $a$ をすべて求めなさい。

解き方

根号のついた数が自然数や整数となる条件は何でしょうか？
$\sqrt{1}=1$
$\sqrt{2}=1.414...$
$\sqrt{3}=1.732...$
$\sqrt{4}=2$
$\sqrt{5}=2.236...$
$\sqrt{6}=2.449...$
$\sqrt{7}=2.645...$
$\sqrt{8}=2.828...$
$\sqrt{9}=3$
･･･
根号の中が平方数（整数の2乗の数）になった時ですね。

ちゃんと考えてみます。

根号の中の数が、
$0 < a < b$
であれば、
$\sqrt{a} < \sqrt{b}$
になります。
中身が大きければ大きいほど大きいわけです。

ある正の整数 $a$ とそれに1を加えた数 $a+1$ は
$0 < a < a+1$
ですから、
$0 < a^2 < (a+1)^2$
で、
$\sqrt{a^2} < \sqrt{(a+1)^2}$
になります。

ある平方数 $a^2$ とその平方数の次の平方数 $(a+1)^2$ の間の数 $b$ 、つまり、
$0 < a^2 < b < (a+1)^2$
なる $b$ は、
$\sqrt{a^2} < \sqrt{b} < \sqrt{(a+1)^2}$
ですから、
$a < \sqrt{b} < a+1$
$\sqrt{b}$ は $a$ より大きく、 $a+1$ より小さい数です。
つまり整数部分が $a$ でそれに小数がくっついた値ですね。
これは整数ではありません。
根号の中が平方数になった時に整数になり、平方数でなければ整数ではないわけですね。

根号の中が平方数になるように文字を決めていきましょう。

解説

(1) $\sqrt{84a}$ が整数となる自然数 $a$ のうち最小の $a$ を求めなさい。
$84a$ という数が平方数になる条件を考えてみましょう。

$84$ という数がどのような数か知りたいですね。
素因数分解します。
$84=2\cdot 42=2^2\cdot 21=2^2\cdot 3 \cdot 7$
$84a$ が平方数になるためには、それぞれの $2,3,7$ が平方数にならないといけないですね。
また、「最小の」と言っていますから、それ以外の数が平方数として出てきてほしくないですね。
$84a=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2$ が求める $a$ の条件でしょう。
両辺84で割って、 $a=3\cdot 7=21$ が答えです。