平方根の整数部分と小数部分の解法

平方根の整数部分と小数部分を使った問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $a,b$ の値を求めなさい。

解き方

$1\leq x<4$ のとき $\sqrt{1}=1,\sqrt{2}=1.41...,\sqrt{3}=1.73...$ ですから、 $\sqrt{x}$ の整数部分は1ですね。
$4\leq x<9$ のとき $\sqrt{x}$ の整数部分は2ですね。
4や9等の平方数を見つけて整数部分を求めましょう。
整数部分さえわかれば元の数から整数部分を引いたものが小数部分になります。

解説

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $a,b$ の値を求めなさい。
$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$
なので、 $2<\sqrt{7}<3$ となり $\sqrt{7}$ の整数部分は2ですね。

整数部分がわかれば $\sqrt{7}=2.abc..-2=0.abc..$ という計算で小数部分がわかりますね？
$\displaystyle \frac{10}{3}=3.33333..$ の小数部分の $\displaystyle 0.33333..=\frac{1}{3}$ は $\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{10}{3}-\frac{9}{3}=3.33333-3$ ですよね。
元の数（整数と小数に分けたい数）から整数部分の数を引くと小数部分になりますね。

よって $a=2,b=\sqrt{7}-2$ が答えです。

応用問題

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $a^2+b^2$ の値を求めなさい。

解き方

応用問題とは言え、基本問題の積み重ねです。
基本問題の答えを拝借しましょう。

解説

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $a^2+b^2$ の値を求めなさい。
基本問題の答えを拝借して、 $a=2,b=\sqrt{7}-2$ です。

後は代入すればいいですね。
そのまま代入して求めても良いですね。
$a^2+b^2=(2)^2+(\sqrt{7}-2)^2=4+(7-4\sqrt{7}+4)=15-4\sqrt{7}$
あるいは、少し式を変形して代入しても良いです。
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(\sqrt{7})^2-2\cdot 2(\sqrt{7}-2)=7-4(\sqrt{7}-2)=7-4\sqrt{7}+8=15-4\sqrt{7}$
今回の問題ではあまり計算の大変さは変わりませんね。