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平方根の整数部分と小数部分の問題の解法

平方根の整数部分と小数部分を使った問題です。

基本問題

\sqrt{7}の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a,bの値を求めなさい。

解き方

1\leq x<4のとき\sqrt{1}=1,\sqrt{2}=1.41...,\sqrt{3}=1.73...ですから、\sqrt{x}の整数部分は1ですね。
4\leq x<9のとき\sqrt{x}の整数部分は2ですね。
4や9等の平方数を見つけて整数部分を求めましょう
整数部分さえわかれば元の数から整数部分を引いたものが小数部分になります

解説

\sqrt{7}の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a,bの値を求めなさい。
\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}
なので、2<\sqrt{7}<3となり\sqrt{7}の整数部分は2ですね。

整数部分がわかれば\sqrt{7}=2.abc..-2=0.abc..という計算で小数部分がわかりますね?
\displaystyle \frac{10}{3}=3.33333..の小数部分の\displaystyle 0.33333..=\frac{1}{3}\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{10}{3}-\frac{9}{3}=3.33333-3ですよね。
元の数(整数と小数に分けたい数)から整数部分の数を引くと小数部分になりますね。

よってa=2,b=\sqrt{7}-2が答えです。

応用問題

\sqrt{7}の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a^2+b^2の値を求めなさい。

解き方

応用問題とは言え、基本問題の積み重ねです。
基本問題の答えを拝借しましょう。

解説

\sqrt{7}の整数部分をa、小数部分をbとするとき、a^2+b^2の値を求めなさい。
基本問題の答えを拝借して、a=2,b=\sqrt{7}-2です。

後は代入すればいいですね。
そのまま代入して求めても良いですね。
a^2+b^2=(2)^2+(\sqrt{7}-2)^2=4+(7-4\sqrt{7}+4)=15-4\sqrt{7}
あるいは、少し式を変形して代入しても良いです。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(\sqrt{7})^2-2\cdot 2(\sqrt{7}-2)=7-4(\sqrt{7}-2)=7-4\sqrt{7}+8=15-4\sqrt{7}
今回の問題ではあまり計算の大変さは変わりませんね。

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終わりに

小数部分の表し方で根号のついた数と整数の差という式を使っていいのかどうかで迷ってしまうかもしれません
使って良いんです
普通に根号のついた数の計算した後の値って、根号のついた数と整数の和と差と積で表された数になりますよね。

わりとよくあるパターンの問題なので押さえておきましょう。

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