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一次不等式の問題の解法

一次不等式の解を求める問題です。

基本問題

(1)3x+1 \leq 2xの解を求めなさい。
(2)-(x+1) \leq xかつ2x-1 > 4x-3の解を求めなさい。
(3)3a-1 \leq a+4を満たす自然数aをすべて求めなさい。

解き方

例えばxが含まれた不等式であれば、方程式を解くように、左辺にx、右辺に数字を寄せます。
このとき、全体を-1で掛けたり割ったりするときに不等号の向きが変わることに注意しましょう。
xがある数、「以下」、「以上」、「より小さい」、「より大きい」という不等式が得られます。

数直線を利用して、該当の範囲を図示するとわかりやすいと思います。
特に連立不等式等は図を使った方がいいですね。

また一次不等式の問題としてはあまり見ないですが、不等式がいくつか現れる場合があります。
「または」なのか「かつ」なのかは問題によって異なりますが、解釈で答えが全く異なる可能性があります。
条件等であれば「かつ」になるでしょうし、どちらかを満たせば良いというものであれば「または」になります。
不等式のつながりも意識してください。

解説

(1)3x+1 \leq 2xの解を求めなさい。
まずは変形ですね。
3x+1 \leq 2x
右辺に2x、左辺に1があります。
邪魔なのでどいていただきます
3x+1-1-2x \leq 2x-1-2x
x \leq -1
答えです。

(2)-(x+1) \leq xかつ2x-1 > 4x-3の解を求めなさい。
まずはそれぞれ変形しましょう。
-(x+1) \leq x
-x-1 \leq x
-x-1+1-x \leq x+1-x
-2x \leq 1
\displaystyle x \geq -\frac{1}{2}
\displaystyle x \geq -\frac{1}{2}なのでx\displaystyle -\frac{1}{2}以上の数です。

2x-1 > 4x-3
2x-1+1-4x > 4x-3+1-4x
-2x > -2
x < 1
x < 1なのでxは1より小さい数です。

連立の場合や「かつ」の場合は、不等式の解の共通部分が求める解になります。
数直線を引いて、\displaystyle -\frac{1}{2}を含む右側、1を含まない左側、の共通部分が解です。

\displaystyle -\frac{1}{2} \leq x < 1
が解です。

(3)3a-1 \leq a+4を満たす自然数aをすべて求めなさい。
まずは変形しましょう。
3a-1 \leq a+4
3a-1+1-a \leq a+4+1-a
2a \leq 5
\displaystyle a \leq \frac{5}{2}

さて、「自然数a」という条件があります。
a:1,2,3,,です。
共通部分を取ります。

数直線を引いて、\displaystyle \frac{5}{2}を含む左側、1,2,3,,,の共通部分が解です。
1,2が共通部分ですね。
解はa=1,2です。

終わりに

一次方程式の問題が解ければ、単純な一次不等式の問題は解けると思います。
全体をマイナスで掛けたり割ったりするときだけ、不等号の向きを気を付ける必要はありますが。

条件が付いたり、連立させるような問題が一歩進んだ問題になります。
共通部分をとるのか、併せた範囲をとるのか、判断できるようになりましょう。

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