高次多項式の因数分解の解法

高次多項式の因数分解を求める問題です。
式の展開と因数分解の問題の解法で中学生の範囲を解説しています。
因数分解の問題の解法で数Ⅰの範囲を解説しています。
これらを因数分解の問題の解法まとめでまとめています。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

$x^4-15x^2-10x+24$ を因数分解しなさい。

解き方

因数定理を使いましょう。
$x=a$ を代入して0になれば $(x-a)$ を因数に持つことになります。

解説

$x^4-15x^2-10x+24$ を因数分解しなさい。
$P(x)=x^4-15x^2-10x+24$ とします。
高次多項式を因数定理を使って因数分解をします。

さて、闇雲に代入すると計算が少し大変ですね。
与式が $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ で因数分解できるとすると定数項は積 $abcd$ ですね。
$24$ に着目します。
素因数分解します。
$24=2^3\cdot 3$ ですね。
$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24$ が候補です。
小さい数から代入していきましょう。

$P(1)=1-15-10+24=0$

いきなり解でした。
$P(x)=x^4-15x^2-10x+24$ を $(x-1)$ でくくります。
くくり方は整式の除法の問題の解法で解説しています。
$P(x)=x^4-15x^2-10x+24=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)$ になります。

更に $Q(x)=x^3+x^2-14x-24$ に因数定理を使いましょう。

$Q(1)=1+1-14-24=36\ne 0$
$Q(-1)=-1+1-14-24-36\ne 0=$
$Q(2)=8+4-28-24=-40\ne 0$
$Q(-2)=-8+4+28-24=0$

$Q(x)=x^3+x^2-14x-24$ を $(x+2)$ でくくります。
$P(x)=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)=(x-1)(x+2)(x^2-x-12)$ になります。
$P(x)=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)=(x-1)(x+2)(x^2-x-12)$ になります。