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高次多項式の因数分解の問題の解法

高次多項式の因数分解を求める問題です。
式の展開と因数分解の問題の解法で中学生の範囲を解説しています。
因数分解の問題の解法で数Ⅰの範囲を解説しています。
これらを因数分解の問題の解法まとめでまとめています。

基本問題

x^4-15x^2-10x+24を因数分解しなさい。

解き方

因数定理を使いましょう。
x=aを代入して0になれば(x-a)を因数に持つことになります。

解説

x^4-15x^2-10x+24を因数分解しなさい。
P(x)=x^4-15x^2-10x+24とします。
高次多項式を因数定理を使って因数分解をします。

さて、闇雲に代入すると計算が少し大変ですね。
与式が(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)で因数分解できるとすると定数項は積abcdですね。
24に着目します。
素因数分解します。
24=2^3\cdot 3ですね。
\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24が候補です
小さい数から代入していきましょう。

P(1)=1-15-10+24=0

いきなり解でした。
P(x)=x^4-15x^2-10x+24(x-1)でくくります。
くくり方は整式の除法の問題の解法で解説しています。
P(x)=x^4-15x^2-10x+24=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)になります。

更にQ(x)=x^3+x^2-14x-24に因数定理を使いましょう。

Q(1)=1+1-14-24=36\ne 0
Q(-1)=-1+1-14-24-36\ne 0=
Q(2)=8+4-28-24=-40\ne 0
Q(-2)=-8+4+28-24=0

Q(x)=x^3+x^2-14x-24(x+2)でくくります。
P(x)=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)=(x-1)(x+2)(x^2-x-12)になります。
P(x)=(x-1)(x^3+x^2-14x-24)=(x-1)(x+2)(x^2-x-12)になります。

2次になっても因数定理は使えますが、従来の因数分解の方法でもできますね。
ちなみに1,12という組み合わせか2,6という組み合わせか3,4という組み合わせです。
xの係数を1にするためには3,4という組み合わせになりそうですね。

P(x)=(x-1)(x+2)(x^2-x-12)=(x-1)(x+2)(x+3)(x-4)になります。

終わりに

因数分解ができる事と解を求める事はほぼ同じですね。
方程式を解くテクニックの1つとして因数定理を使いこなせるようになりましょう!

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