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整式の除法の問題の解法

整式の除法を行う問題です。

Contents

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに
3 関連

基本問題

$x^3-3x^2+2x-1$ を $x+1$ で割った時の商と余りを求めなさい。

解き方

整式の割り算の計算方法に従って計算を進めましょう。

解説

$x^3-3x^2+2x-1$ を $x+1$ で割った時の商と余りを求めなさい。
割り算のひっ算の様に求めていきますね。

$x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}$

まず $x^3$ を消したいので、 $x+1$ に $x^2$ を掛ければ消えますね。
$x+1\overline{)}$ $x^2$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}$
$x+1\overline{)}$ $x^3+x^2$
$x+1\overline{)x^3}$ $\overline{-4x^2+2x-1}$
割り算のひっ算は割る数と商に書いた数を掛けた数を、割られる数から引きましたね。
なので、 $(x^3-3x^2+2x-1)-(x+1)(x^2)=(x^3-3x^2+2x-1)-(x^3+x^2)$ を計算しています。

次は $-4x^2$ を消したいので、 $x+1$ に $-4x$ を掛ければ消えますね。
$x+1\overline{)}$ $x^2-4x$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}$
$x+1\overline{)}$ $x^3+x^2$
$x+1\overline{)x^3}$ $\overline{-4x^2+2x-1}$
$x+1\overline{)x^3}$ $-4x^2-4x$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+}$ $\overline{6x-1}$

もう一段計算できますね。
$6x$ を消したいので、 $x+1$ に $6$ を掛ければ消えますね。
$x+1\overline{)}$ $x^2-4x+6$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}$
$x+1\overline{)}$ $x^3+x^2$
$x+1\overline{)x^3}$ $\overline{-4x^2+2x-1}$
$x+1\overline{)x^3}$ $-4x^2-4x$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+}$ $\overline{6x-1}$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+}$ $\overline{6x+6}$
$x+1\overline{)x^3-3x^2+2x}$ $\overline{-7}$

従って、商が $x^2-4x+6$ 、余りが $-7$ です。

商は基本的（途中で割り切れている場合等でそれ以上計算できない場合）に0次まで計算します。
余りの式の次数は割る数の次数よりも小さくなります。
まだ計算ができるのに途中で終わってしまったり、もう計算ができないのにいつまでも計算を続けたりしないよう、注意しましょう。

もう一つやり方をご紹介します。
といっても、基本的にやっていることは同じです。

$x^3-3x^2+2x-1$ を $x+1$ で割った時の商と余りを求めなさい。
$x^3-3x^2+2x-1=(x+1)$ まで書きます。

まず $x^3$ に着目します
$x+1$ に何を掛けたら $x^3$ になるか考えます。
もちろん $x^x$ ですね。
$x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2$ まで書きます。

次は $-3x^2$ に着目します。
先の計算で $x^2$ を既に書いています。
この $x^2$ と割る数の $x+1$ の積は $x^2$ が出てきますね。
つまり残り $-4x^2$ があれば良いわけです。
$x+1$ の $x$ から $-4x^2$ を作るために $-4x$ を掛ければいいですね。
$x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4x$ まで書きます。

もう少しです。
同じように次数を下げて、次は $2x$ に着目します。
先の計算で $x^2-4x$ を既に書いています。
この $x^2-4x$ と割る数の $x+1$ の積は $-4x$ が出てきますね。
つまり残り $6x$ があれば良いわけです。
$x+1$ の $x$ から $6x$ を作るために $6$ を掛ければいいですね。
$x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4x+6)$ まで書きます。

さて最後の仕上げです。
さらに次数を下げて、次は $-1$ に着目します。
先の計算で $x^2-4x+6$ を既に書いています。
この $x^2-4x+6$ と割る数の $x+1$ の積は $6$ が出てきますね。
つまり残り $-7$ があれば良いわけです。
しかしこれ以上割る数の積を計算することができません。
これはあまりになります。
$x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4x+6)-7$ で商と余りが計算できました。
商が $x^2-4x+6$ 、余りが $-7$ です。