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整式の除法の問題の解法

整式の除法を行う問題です。

基本問題

x^3-3x^2+2x-1x+1で割った時の商と余りを求めなさい。

解き方

整式の割り算の計算方法に従って計算を進めましょう。

解説

x^3-3x^2+2x-1x+1で割った時の商と余りを求めなさい。
割り算のひっ算の様に求めていきますね。

x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}

まずx^3を消したいので、x+1x^2を掛ければ消えますね。
x+1\overline{)}x^2
x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}
x+1\overline{)}x^3+x^2
x+1\overline{)x^3}\overline{-4x^2+2x-1}
割り算のひっ算は割る数と商に書いた数を掛けた数を、割られる数から引きましたね。
なので、(x^3-3x^2+2x-1)-(x+1)(x^2)=(x^3-3x^2+2x-1)-(x^3+x^2)を計算しています。

次は-4x^2を消したいので、x+1-4xを掛ければ消えますね。
x+1\overline{)}x^2-4x
x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}
x+1\overline{)}x^3+x^2
x+1\overline{)x^3}\overline{-4x^2+2x-1}
x+1\overline{)x^3}-4x^2-4x
x+1\overline{)x^3-3x^2+}\overline{6x-1}

もう一段計算できますね。
6xを消したいので、x+16を掛ければ消えますね。
x+1\overline{)}x^2-4x+6
x+1\overline{)x^3-3x^2+2x-1}
x+1\overline{)}x^3+x^2
x+1\overline{)x^3}\overline{-4x^2+2x-1}
x+1\overline{)x^3}-4x^2-4x
x+1\overline{)x^3-3x^2+}\overline{6x-1}
x+1\overline{)x^3-3x^2+}\overline{6x+6}
x+1\overline{)x^3-3x^2+2x}\overline{-7}

従って、商がx^2-4x+6、余りが-7です。

商は基本的(途中で割り切れている場合等でそれ以上計算できない場合)に0次まで計算します。
余りの式の次数は割る数の次数よりも小さくなります。
まだ計算ができるのに途中で終わってしまったり、もう計算ができないのにいつまでも計算を続けたりしないよう、注意しましょう。

もう一つやり方をご紹介します。
といっても、基本的にやっていることは同じです。

x^3-3x^2+2x-1x+1で割った時の商と余りを求めなさい。
x^3-3x^2+2x-1=(x+1)まで書きます。

まずx^3に着目します
x+1に何を掛けたらx^3になるか考えます。
もちろんx^xですね。
x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2まで書きます。

次は-3x^2に着目します。
先の計算でx^2を既に書いています。
このx^2と割る数のx+1の積はx^2が出てきますね。
つまり残り-4x^2があれば良いわけです。
x+1xから-4x^2を作るために-4xを掛ければいいですね。
x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4xまで書きます。

もう少しです。
同じように次数を下げて、次は2xに着目します。
先の計算でx^2-4xを既に書いています。
このx^2-4xと割る数のx+1の積は-4xが出てきますね。
つまり残り6xがあれば良いわけです。
x+1xから6xを作るために6を掛ければいいですね。
x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4x+6)まで書きます。

さて最後の仕上げです。
さらに次数を下げて、次は-1に着目します。
先の計算でx^2-4x+6を既に書いています。
このx^2-4x+6と割る数のx+1の積は6が出てきますね。
つまり残り-7があれば良いわけです。
しかしこれ以上割る数の積を計算することができません。
これはあまりになります。
x^3-3x^2+2x-1=(x+1)(x^2-4x+6)-7で商と余りが計算できました。
商がx^2-4x+6、余りが-7です。

なお最後の定数項部分ですが、因数定理等の計算の場合、必ず割り切れることがわかっていますね。
このときは定数項部分が合うように決めてしまって問題ありません。

この計算ができると、後の因数定理と組み合わせる事で因数分解を超速で計算できます
ワクワクしますね。

終わりに

割り算のひっ算は次数の抜けがあるときはその次数の部分は0x^nのように書いておくといいですよ。
間違えやすいポイントですからね、対策しておきましょう。

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