剰余の定理と因数定理の問題の解法

剰余の定理と因数定理を使った問題です。

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基本問題

(1) $2x^2+3x-1$ を $x-3$ で割った時の余りを求めなさい。
(2) $2x^2+3x-a$ は $x-3$ を因数に持つ。 $a$ の値を求めなさい。

(1)は剰余の定理を使いましょう。
整式 $P(x)$ を $x-a$ で割った時の余りは $P(a)$ になります。

(2)は因数定理を使いましょう。
整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数に持つとき、 $P(a)=0$ になります。

(1) $2x^2+3x-1$ を $x-3$ で割った時の余りを求めなさい。
剰余の定理を使います。

$2x^2+3x-1$ に $x=3$ を代入します。
$2(3)^2+3(3)-1=18+9-1=26$
剰余の定理より、余りは26です。

(2) $2x^2+3x-a$ は $x-3$ を因数に持つ。 $a$ の値を求めなさい。
因数定理を使います。

因数定理より $P(x)=2x^2+3x-a$ が $x-3$ を因数に持てば $P(3)=0$ となります。
$P(3)=2(3)^2+3(3)-a=18+9-a=0$
$a$ の方程式 $18+9-a=0$ を解きます。
$a=27$
答えです。

因数定理は因数分解で大活躍します。
因数定理の前段である剰余の定理は少し忘れられがちです。
中々強力な定理なので使いこなせると良いですね。