因数分解の問題の解法

3次式の因数分解と、少し複雑な因数分解の問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の式を因数分解しなさい。
(1) $x^3-27y^3$
(2) $8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$
(3) $x^2-2y^2-xy-3y-1$
(4) $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$

解き方

(1)(2)の3次式は次の因数分解の公式を使います。
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
(3)は $x$ の降べきの順に並べることがポイントです。
(4)次数が3次が1項、2次が3項、1次が3項、0次が1項とあります。
(1次+0次)(1次+0次)(1次+0次)
の形を推測できると良いですね。

解説

(1) $x^3-27y^3$
公式を使って因数分解しましょう。
$x^3-27y^3=x^3-(3y)^3=(x-(3y))(x^2+x(3y)+(3y)^2)=(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$
答えです。

(2) $8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$
公式を使って因数分解しましょう。
$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3=((2x)+y)^3=(2x+y)^3$
答えです。

(3) $x^2-2y^2-xy-3y-1$
$x$ の降べきの順に並べます。
$x^2-xy-2y^2-3y-1$
$y$ の二次式部分を因数分解しましょう。
$x^2-xy-2y^2-3y-1=x^2-yx-(2y^2+3y+1)=x^2-yx-(2y+1)(y+1)$

作る人は答えとなる式を展開して問題を作ります。
すると今因数分解した $y$ の一次式 $(2y+1),(y+1)$ が答えとなる因数分解の式に現れるはずです。
つまり、 $x^2-yx-(2y+1)(y+1)=(x-a(2y+1))(x-b(y+1))$ を満たす $a,b$ を決めます。
$x$ の係数が $y$ になるよう、 $(2y+1),(y+1)$ の係数 $a,b$ が決まれば良いですね。

$-a(2y+1)-b(y+1)=y$ から、 $y,1$ のそれぞれの係数に着目します。
$-2ay-by=y,-a-b=0$ から、 $-2a-b=1,-a-b=0$ （ $ab=-1$ を使ってもいいですね）という連立方程式を解けば $a,b$ を求める事ができますね。
これを解くと、 $a=1,b=-1$ ですね。

問題に戻ります。
$x^2-yx-(2y+1)(y+1)=(x-(2y+1))(x+(y+1))=(x-2y-1))(x+y+1)$
答えです。

$x$ の項が無かったので $x$ の係数は $y$ でした。
$x$ の項があれば $x$ の係数は $y+5$ のような形になりますが、これは連立方程式の定数項の係数部分の式が変わってきますね。

(4) $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$
普通にやろうと思うとどこから手を付けて良いか悩ましいです。
正しい計算方法に従ってとにかく手を動し色々な式変形を行えば答えにたどり着きます。

例えば $a$ でくくれる部分をくくってみましょう。
$abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=a(bc+b+c+1)+(bc+b+c+1)$
$bc+b+c+1$ でくくれますね。
$a(bc+b+c+1)+(bc+b+c+1)=(a+1)(bc+b+c+1)$
2次の式が残っているので $bc+b+c+1$ がまだ因数分解できるかもしれませんね。
また $b$ でくくってみましょう。
$(a+1)(bc+b+c+1)=(a+1)(b(c+1)+c+1)=(a+1)((b+1)(c+1))=(a+1)(b+1)(c+1)$
答えです。

なお、解き方にも書きましたが、次数が3次が1項、2次が3項、1次が3項、0次が1項とあります。
(1次+0次)(1次+0次)(1次+0次)の形が推測されます。
1次の式に入る候補は $a,b,c$ 、0次は1ですね。
これは他ならぬ $(a+1)(b+1)(c+1)$ です。
次数に着目してみると答えがぱっと出ることもあります。

終わりに

因数分解は方程式の解を求めることにもつながります。
そのため数学の問題を土台となります。