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等比数列の極限の問題の解法

等比数列の極限を求める問題です。

基本問題

(1)一般項が\displaystyle a_n=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}の数列の極限を求めなさい。
(2)一般項が\displaystyle a_n=3^n-2^{n-1}の数列の極限を求めなさい。

解き方

等比数列\{r^{n-1}\}の収束は

  1. r>1のとき\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=\infty
  2. r=1のとき\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=1
  3. -1 < r <1のとき\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=0
  4. r<-10のとき\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}は振動し、極限は存在しない

となります。
等比数列の極限がどうなるかイメージが付けば、特に覚える必要は無いでしょう

収束する場合は、数列の極限同様に不定形の対処がポイントになります。

  1. \displaystyle \frac{0}{0}は因数分解して約分ができないか
  2. \displaystyle \frac{\infty}{\infty}は分母の最高次数の項で分母分子を割る
  3. \displaystyle \infty-\inftyは無理やりくくって\infty \times 有理数を目指す

です。

解説

(1)一般項が\displaystyle a_n=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}の数列の極限を求めなさい。
\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}はnが増えるにつれてどんどん0に近づきますよね。

-1 < r <1のとき\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=0
なので0になります。

(2)一般項が\displaystyle a_n=3^n-2^{n-1}の数列の極限を求めなさい。
3^nはnが増えるにつれてどんどん大きくなり、-2^nはどんどん小さくなります。
ただ、3^nの方がより速く大きくなりますね。
なので発散しそうです。

\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}(3^n-2^{n-1})
3^{n-1}でくくりましょう。
\displaystyle =\lim_{n \to \infty} 3^{n-1}\left(3-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right)

ここで、\displaystyle \lim_{n \to \infty}3^{n-1}=\inftyに対して、\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=0ですね。
よって、\infty \times (3-0)という形になります。

\displaystyle =\infty \times (3-0)=\infty

応用問題

\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=5a_n-2^nから得られる数列の極限を求めなさい。

解き方

漸化式さえ解ければ基本問題と同じです。
漸化式については漸化式の問題解き方まとめでまとめています。

解説

\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=5a_n-2^nから得られる数列の極限を求めなさい。
nの式がくっついたタイプの漸化式ですね。
このタイプは2^nで割って、\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}等として置き換えると良かったですね。

\displaystyle a_{n+1}=5a_n-2^n
2^nで割ります。
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^n}=5\frac{a_n}{2^n}-1
この形だとn+1の項で都合が悪いので、n+1の項は2を分母分子に掛けて2^{n+1}の形にします。
\displaystyle 2\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=5\frac{a_n}{2^n}-1
\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}で置き換えます。
このとき、\displaystyle b_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{2}{2}=1になります。
\displaystyle 2b_{n+1}=5b_n-1

ここまでくると、漸化式の基本的なパターンになっていますね。
特性方程式を使って計算を進めます。

\displaystyle 2t=5t-1
\displaystyle t=\frac{1}{3}
\displaystyle 2\left(b_{n+1}-\frac{1}{3}\right)=5\left(b_n-\frac{1}{3}\right)
\displaystyle c_n=b_n-\frac{1}{3}で置き換えます。
\displaystyle c_1=b_1-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}になります。
\displaystyle 2\left(b_{n+1}-\frac{1}{3}\right)=5\left(b_n-\frac{1}{3}\right)
\displaystyle 2\left(c_{n+1}\right)=5\left(c_n\right)
\displaystyle c_{n+1}=\frac{5}{2}c_n
\{c_n\}は公比が\displaystyle \frac{5}{2}c_nで初項\displaystyle c_1=\frac{2}{3}の等比数列なので、
\displaystyle c_n=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}

\displaystyle c_n=b_n-\frac{1}{3}だったので、
\displaystyle b_n=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}

\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}だったので、
\displaystyle a_n=2^nb_n=2^n\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}
\displaystyle =\frac{4}{3}5^{n-1}+\frac{1}{3}2^n

\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{4}{3}5^{n-1}+\frac{1}{3}2^n=\infty
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終わりに

漸化式から数列を作れるかどうかが問題になることが多いですね。
そういう意味では数Bの問題と言っても過言ではないでしょう。
目新しい知識がなく、珍しく色が付いていません‥。

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