等比数列の極限の問題の解法

等比数列の極限を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 応用問題
- 2.1 解き方
  - 2.1.1 解説
3 終わりに

基本問題

(1)一般項が $\displaystyle a_n=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の数列の極限を求めなさい。
(2)一般項が $\displaystyle a_n=3^n-2^{n-1}$ の数列の極限を求めなさい。

解き方

等比数列 $\{r^{n-1}\}$ の収束は

$r>1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=\infty$
$r=1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=1$
$-1 < r <1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=0$
$r<-10$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}$ は振動し、極限は存在しない

となります。
等比数列の極限がどうなるかイメージが付けば、特に覚える必要は無いでしょう。

収束する場合は、数列の極限同様に不定形の対処がポイントになります。

$\displaystyle \frac{0}{0}$ は因数分解して約分ができないか
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ は分母の最高次数の項で分母分子を割る
$\displaystyle \infty-\infty$ は無理やりくくって $\infty \times$ 有理数を目指す

です。

解説

(1)一般項が $\displaystyle a_n=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の数列の極限を求めなさい。
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ はnが増えるにつれてどんどん0に近づきますよね。

$-1 < r <1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^{n-1}=0$
なので0になります。

(2)一般項が $\displaystyle a_n=3^n-2^{n-1}$ の数列の極限を求めなさい。
$3^n$ はnが増えるにつれてどんどん大きくなり、 $-2^n$ はどんどん小さくなります。
ただ、 $3^n$ の方がより速く大きくなりますね。
なので発散しそうです。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}(3^n-2^{n-1})$
$3^{n-1}$ でくくりましょう。
$\displaystyle =\lim_{n \to \infty} 3^{n-1}\left(3-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right)$

ここで、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}3^{n-1}=\infty$ に対して、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=0$ ですね。
よって、 $\infty \times (3-0)$ という形になります。

$\displaystyle =\infty \times (3-0)=\infty$

応用問題

$\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=5a_n-2^n$ から得られる数列の極限を求めなさい。

解き方

漸化式さえ解ければ基本問題と同じです。
漸化式については漸化式の問題解き方まとめでまとめています。

解説

$\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=5a_n-2^n$ から得られる数列の極限を求めなさい。
nの式がくっついたタイプの漸化式ですね。
このタイプは $2^n$ で割って、 $\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}$ 等として置き換えると良かったですね。

$\displaystyle a_{n+1}=5a_n-2^n$
$2^n$ で割ります。
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^n}=5\frac{a_n}{2^n}-1$
この形だと $n+1$ の項で都合が悪いので、 $n+1$ の項は2を分母分子に掛けて $2^{n+1}$ の形にします。
$\displaystyle 2\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=5\frac{a_n}{2^n}-1$
$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}$ で置き換えます。
このとき、 $\displaystyle b_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{2}{2}=1$ になります。
$\displaystyle 2b_{n+1}=5b_n-1$

ここまでくると、漸化式の基本的なパターンになっていますね。
特性方程式を使って計算を進めます。

$\displaystyle 2t=5t-1$
$\displaystyle t=\frac{1}{3}$
$\displaystyle 2\left(b_{n+1}-\frac{1}{3}\right)=5\left(b_n-\frac{1}{3}\right)$
$\displaystyle c_n=b_n-\frac{1}{3}$ で置き換えます。
$\displaystyle c_1=b_1-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ になります。
$\displaystyle 2\left(b_{n+1}-\frac{1}{3}\right)=5\left(b_n-\frac{1}{3}\right)$
$\displaystyle 2\left(c_{n+1}\right)=5\left(c_n\right)$
$\displaystyle c_{n+1}=\frac{5}{2}c_n$
$\{c_n\}$ は公比が $\displaystyle \frac{5}{2}c_n$ で初項 $\displaystyle c_1=\frac{2}{3}$ の等比数列なので、
$\displaystyle c_n=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}$

$\displaystyle c_n=b_n-\frac{1}{3}$ だったので、
$\displaystyle b_n=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}$

$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^n}$ だったので、
$\displaystyle a_n=2^nb_n=2^n\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}$
$\displaystyle =\frac{4}{3}5^{n-1}+\frac{1}{3}2^n$