無限級数の問題の解法

無限級数を求める問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに
- 2.1 補足メモ

基本問題

次の無限級数が収束するか発散するか調べ、収束すればその値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}$

解き方

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ はnまでの部分和 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k$ の数列 $\{S_n\}$ を用いて
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n$
で定義されます。
部分和を求めて極限を考えます。

また、 $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$ であれば収束しませんので、これを利用する場合もあります。

解説

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}$
分数の分母が積になっています。
そんな時は部分分数分解でしたね。
部分分数分解を利用する数列の問題の解法をご参照ください。

まずは部分分数分解しましょう。
$\displaystyle \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}=\frac{a}{6k-1}+\frac{b}{6k+5}$
と分解できたとして、
右辺 $\displaystyle =\frac{a(6k+5)+b(6k-1)}{(6k-1)(6k+5)}$
$\displaystyle =\frac{6ak+5a+6bk-b)}{(6k-1)(6k+5)}$
$\displaystyle =\frac{6(a+b)k+k+5a-b)}{(6k-1)(6k+5)}$
$a+b=0,5a-b=1$ を解いて、 $\displaystyle a=\frac{1}{6},b=-\frac{1}{6}$
$\displaystyle \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}=\frac{1}{6(6k-1)}-\frac{1}{6(6k+5)}$

では、第n項までの和を計算してみましょう。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)} =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{6(6k-1)}-\frac{1}{6(6k+5)}$
$\displaystyle =\left( \frac{1}{6(6\cdot 1-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 1+5)} \right)+\left( \frac{1}{6(6\cdot 2-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 2+5)} \right)+\left( \frac{1}{6(6\cdot 3-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 3+5)} \right)+...+\left( \frac{1}{6(6n-1)}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)$
$\displaystyle =\left( \frac{1}{30}-\frac{1}{66} \right)+\left( \frac{1}{66}-\frac{1}{102} \right)+\left( \frac{1}{102}-\frac{1}{138} \right)+...+\left( \frac{1}{6(6n-1)}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)$
部分分数分解した後の和はどんどん消えていきます。
気持ちいいですね。
$\displaystyle =\left( \frac{1}{30}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)$

この第n項までの和を $n \to \infty$ すればいいですね。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)} =\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{30}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)$
$\displaystyle =\frac{1}{30}$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}$
分母にルートがあるので有理化しましょう。

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}=\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{(\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5})(\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5})}$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{(6k-1)-(6k+5)}=-\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{6}$

では、第n項までの和を計算してみましょう。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}$
$\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 1-1}-\sqrt{6\cdot 1+5}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 2-1}-\sqrt{6\cdot 2+5}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 3-1}-\sqrt{6\cdot 3+5}}{6} \right)+...+\left( -\frac{\sqrt{6n-1}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)$
これもどんどん消えていきます。
$\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{11}-\sqrt{17}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{17}-\sqrt{23}}{6} \right)+...+\left( -\frac{\sqrt{6n-1}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)$
$\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)$