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無限級数の問題の解法

無限級数を求める問題です。

基本問題

次の無限級数が収束するか発散するか調べ、収束すればその値を求めなさい。
(1)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}
(2)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}

解き方

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_kはnまでの部分和\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_kの数列\{S_n\}を用いて
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n
で定義されます。
部分和を求めて極限を考えます。

また、\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0であれば収束しませんので、これを利用する場合もあります。

解説

(1)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}
分数の分母が積になっています。
そんな時は部分分数分解でしたね。
部分分数分解を利用する数列の問題の解法をご参照ください。

まずは部分分数分解しましょう。
\displaystyle \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}=\frac{a}{6k-1}+\frac{b}{6k+5}
と分解できたとして、
右辺\displaystyle =\frac{a(6k+5)+b(6k-1)}{(6k-1)(6k+5)}
\displaystyle =\frac{6ak+5a+6bk-b)}{(6k-1)(6k+5)}
\displaystyle =\frac{6(a+b)k+k+5a-b)}{(6k-1)(6k+5)}
a+b=0,5a-b=1を解いて、\displaystyle a=\frac{1}{6},b=-\frac{1}{6}
\displaystyle \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}=\frac{1}{6(6k-1)}-\frac{1}{6(6k+5)}

では、第n項までの和を計算してみましょう。
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)} =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{6(6k-1)}-\frac{1}{6(6k+5)}
\displaystyle =\left( \frac{1}{6(6\cdot 1-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 1+5)} \right)+\left( \frac{1}{6(6\cdot 2-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 2+5)} \right)+\left( \frac{1}{6(6\cdot 3-1)}-\frac{1}{6(6\cdot 3+5)} \right)+...+\left( \frac{1}{6(6n-1)}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)
\displaystyle =\left( \frac{1}{30}-\frac{1}{66} \right)+\left( \frac{1}{66}-\frac{1}{102} \right)+\left( \frac{1}{102}-\frac{1}{138} \right)+...+\left( \frac{1}{6(6n-1)}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)
部分分数分解した後の和はどんどん消えていきます。
気持ちいいですね。
\displaystyle =\left( \frac{1}{30}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)

この第n項までの和をn \to \inftyすればいいですね。
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(6k-1)(6k+5)} =\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{30}-\frac{1}{6(6n+5)} \right)
\displaystyle =\frac{1}{30}

(2)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}
分母にルートがあるので有理化しましょう。

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}=\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{(\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5})(\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5})}
\displaystyle =\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{(6k-1)-(6k+5)}=-\frac{\sqrt{6k-1}-\sqrt{6k+5}}{6}

では、第n項までの和を計算してみましょう。
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{6k-1}+\sqrt{6k+5}}
\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 1-1}-\sqrt{6\cdot 1+5}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 2-1}-\sqrt{6\cdot 2+5}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{6\cdot 3-1}-\sqrt{6\cdot 3+5}}{6} \right)+...+\left( -\frac{\sqrt{6n-1}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)
これもどんどん消えていきます。
\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{5}-\sqrt{11}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{11}-\sqrt{17}}{6} \right)+\left( -\frac{\sqrt{17}-\sqrt{23}}{6} \right)+...+\left( -\frac{\sqrt{6n-1}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)
\displaystyle =\left( -\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6n+5}}{6} \right)

求める無限級数はこの第n項までの和をn \to \inftyになります。
しかし\lim_{n \to \infty} \sqrt{6n+5}=\inftyが分子にありますので、収束しませんね。

終わりに

定義は自然な形で定義されますので理解できていれば、覚える必要もないと思います。
部分和を数Bの知識で求める事さえできれば数列の極限の問題と同じです

補足メモ

応用問題検討中です。

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