無限等比級数の問題の解法

無限等比級数を求める問題です。

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1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに
- 2.1 補足メモ

基本問題

次の無限等比級数が収束するか発散するか調べ、収束すればその値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$

解き方

( $r\ne 1$ の)等比数列 $r^{n-1}$ の和は $\displaystyle \frac{r^{n}-1}{r-1}$ でした。
$r^n$ が収束すれば収束する訳ですね。
つまり $|r|<1$ であれば収束します。

解説

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k$ なので収束しそうですね。
ただ、k乗という点には注意してください。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n 3 \cdot (\frac{1}{2})^k =\sum_{k=1}^n \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} =\frac{3}{2}\frac{\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)}$
$\displaystyle =3\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$

この第n項までの和を $n \to \infty$ すればいいですね。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^k =\lim_{n \to \infty} 3 \left (1-\left( \frac{1}{2} \right)^n \right)$
$\displaystyle =3$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^k$ なので収束しなさそうですね。
この時点で無限等比級数の収束条件より収束しない、としても良いです。

一応計算を進めてみましょう。
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} =\frac{1}{3}\frac{\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)}{\left(\frac{3}{2}-1\right)}$
$\displaystyle =\frac{2}{3}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$

この第n項までの和を $n \to \infty$ すればいいですね。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right) =\frac{2}{3}\left(\infty-1\right)=\infty$
となり収束しません。