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無限等比級数の問題の解法

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無限等比級数を求める問題です。

基本問題

次の無限等比級数が収束するか発散するか調べ、収束すればその値を求めなさい。
(1)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k
(2)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}

解き方

(r\ne 1の)等比数列r^{n-1}の和は\displaystyle \frac{r^{n}-1}{r-1}でした。
r^nが収束すれば収束する訳ですね。
つまり|r|<1であれば収束します。

解説

(1)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k なので収束しそうですね。
ただ、k乗という点には注意してください。

\displaystyle \sum_{k=1}^n 3 \cdot (\frac{1}{2})^k =\sum_{k=1}^n \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} =\frac{3}{2}\frac{\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)}
\displaystyle =3\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)

この第n項までの和をn \to \inftyすればいいですね。
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^k =\lim_{n \to \infty} 3 \left (1-\left( \frac{1}{2} \right)^n \right)
\displaystyle =3

(2)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}
\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^k なので収束しなさそうですね。
この時点で無限等比級数の収束条件より収束しない、としても良いです。

一応計算を進めてみましょう。
\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}  =\frac{1}{3}\frac{\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)}{\left(\frac{3}{2}-1\right)}
\displaystyle =\frac{2}{3}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)

この第n項までの和をn \to \inftyすればいいですね。
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right) =\frac{2}{3}\left(\infty-1\right)=\infty
となり収束しません。

終わりに

等比級数になったからと言って、無限級数の考えが変わったりするわけではありません。
収束条件を使えれば計算を進めなくても途中で収束しないことはわかりますね。

補足メモ

応用問題検討中です。

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