※記事の改善を目的に簡単なアンケートを記事の最下段に設置しています※
※わかりやすい、わかりにくい、両方の貴重なご意見を頂き、日々改善しております。※
※ご協力よろしくお願いいたします&ありがとうございます!※

関数の極限の問題の解法

関数の極限を求める問題です。

基本問題

次の極限値を求めなさい。
(1)\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}
(2)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
(3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}

解き方

関数の極限の場合、グラフをイメージできると良いですね。

関数の極限でも不定形の対処がポイントになります。

  1. \displaystyle \frac{0}{0}は因数分解して約分ができないか
  2. \displaystyle \frac{\infty}{\infty}は分母の最高次数の項で分母分子を割る
  3. \displaystyle \infty-\inftyは無理やりくくって\infty \times 有理数を目指す

です。

解説

(1)\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}
\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x^2-5x-3=0なので一工夫必要です。

分母が0になるので因数分解しましょう
x \to 3で0になるので、因数定理よりx-3を因数に持ちますね。
要領よく計算しましょう。
\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+x-1)}{(x-3)(2x+1)}=\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-1}{2x+1}
\displaystyle =\frac{9+3-1}{6+1}=\frac{11}{7}

(2)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
大体分母は3x^2位の速さで、分子は2x^2位の速さで大きくなります。
\frac{3}{2}になりそうですね。

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
x^2で割って「ちょうどいい塩梅」にします。
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}
\displaystyle =\frac{2}{3}

(3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
このパターンは有理化の逆のような事をして分子の\sqrt{x^2}を消すことができました。

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x})(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x})}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x)-(x^2-2x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
xで分母分子を割って「ちょうどいい塩梅」にします。
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}
\displaystyle =\frac{5}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{5}{2}

終わりに

数列の極限同様、\displaystyle \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\inftyそれぞれの不定形をどう解消するかがポイントになりますね。

関連

数列の極限の問題の解法
等比数列の極限の問題の解法
無限級数の問題の解法
無限等比吸収の問題の解法
極限の問題の解法

0

アンケートのご協力をお願いいたします

最後までお読みいただきありがとうございました。 よろしければ記事改善のためのアンケートにご協力頂けましたら幸いです。 頂いた内容をもとに近日中に記事を改善させていただきます。 ご質問は数学の問題に関する質問から頂けますとお返事させて頂きます。

記事を作成するうえでの参考にご意見いただければ幸いです。

疑問は解消されましたか?
 された されなかった

このページの記事の内容はわかりやすかったですか?
 わかりやすい わかりにくい

よろしければわかりにくい場合の理由を教えてください。
 細かすぎる、当たり前なところまで書きすぎ 粗すぎる、行間の不足、論理の飛躍 前提となる知識の記載が無い 言葉の意味が分からない 答えに至る過程の何故そう考えたかの記載が無い 難しすぎてわからない 簡単すぎる 求めていた例題と異なる

ご要望やご意見、もしくは困っている事等(任意)


内容に問題が無ければこちらにチェックをつけて送信ボタンをクリックしてください。

数学解法の目次ページ

数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 高校の範囲に限定した目次を作成しました。
高校数学の解法(目次)
数学のコンテンツで数学の演習問題の解法を解説しています。 中学校の範囲に限定した目次を作成しました。
中学数学の解法(目次)
数学, 解法
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Evernoteに保存Evernoteに保存