関数の極限の問題の解法

関数の極限を求める問題です。

見出し

1 基本問題
- 1.1 解き方
  - 1.1.1 解説
2 終わりに

基本問題

次の極限値を求めなさい。
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}$

解き方

関数の極限の場合、グラフをイメージできると良いですね。

関数の極限でも不定形の対処がポイントになります。

$\displaystyle \frac{0}{0}$ は因数分解して約分ができないか
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ は分母の最高次数の項で分母分子を割る
$\displaystyle \infty-\infty$ は無理やりくくって $\infty \times$ 有理数を目指す

です。

解説

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}$
$\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x^2-5x-3=0$ なので一工夫必要です。

分母が0になるので因数分解しましょう。
$x \to 3$ で0になるので、因数定理より $x-3$ を因数に持ちますね。
要領よく計算しましょう。
$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+x-1)}{(x-3)(2x+1)}=\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-1}{2x+1}$
$\displaystyle =\frac{9+3-1}{6+1}=\frac{11}{7}$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}$
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
大体分母は $3x^2$ 位の速さで、分子は $2x^2$ 位の速さで大きくなります。
$\frac{3}{2}$ になりそうですね。

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}$
$x^2$ で割って「ちょうどいい塩梅」にします。
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$
$\displaystyle =\frac{2}{3}$

(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}$
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
このパターンは有理化の逆のような事をして分子の $\sqrt{x^2}$ を消すことができました。

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x})(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x})}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x)-(x^2-2x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}$
$x$ で分母分子を割って「ちょうどいい塩梅」にします。
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}$
$\displaystyle =\frac{5}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{5}{2}$

終わりに

数列の極限同様、 $\displaystyle \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty$ それぞれの不定形をどう解消するかがポイントになりますね。