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関数の極限の問題の解法

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関数の極限を求める問題です。

基本問題

次の極限値を求めなさい。
(1)\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}
(2)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
(3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}

解き方

関数の極限の場合、グラフをイメージできると良いですね。

関数の極限でも不定形の対処がポイントになります。

  1. \displaystyle \frac{0}{0}は因数分解して約分ができないか
  2. \displaystyle \frac{\infty}{\infty}は分母の最高次数の項で分母分子を割る
  3. \displaystyle \infty-\inftyは無理やりくくって\infty \times 有理数を目指す

です。

解説

(1)\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}
\displaystyle \lim_{x \to 3} 2x^2-5x-3=0なので一工夫必要です。

分母が0になるので因数分解しましょう
x \to 3で0になるので、因数定理よりx-3を因数に持ちますね。
要領よく計算しましょう。
\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-2x^2-4x+3}{2x^2-5x-3}=\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+x-1)}{(x-3)(2x+1)}=\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-1}{2x+1}
\displaystyle =\frac{9+3-1}{6+1}=\frac{11}{7}

(2)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
大体分母は3x^2位の速さで、分子は2x^2位の速さで大きくなります。
\frac{3}{2}になりそうですね。

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^2-x-1}
x^2で割って「ちょうどいい塩梅」にします。
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}
\displaystyle =\frac{2}{3}

(3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}
数列の極限と同様です。
必要があれば数列の極限の問題の解法もご参照ください。
このパターンは有理化の逆のような事をして分子の\sqrt{x^2}を消すことができました。

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x}=\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x})(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-2x})}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x)-(x^2-2x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-2x}}
xで分母分子を割って「ちょうどいい塩梅」にします。
\displaystyle =\lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}
\displaystyle =\frac{5}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{5}{2}

終わりに

数列の極限同様、\displaystyle \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\inftyそれぞれの不定形をどう解消するかがポイントになりますね。

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